完全循環素数(レプテンド)...☆

より 引用 Orz~
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完全循環素数をカウント

「3と5のような「2」離れた双子素数が無限にあるかどうか未解決である。一方、逆数1/pの小数展開がp-1桁でくり返す循環小数となる「完全循環素数(レプテンド)」は双子素数より数ははるかに多いがその素数に対する比率の極限はアルティン予想(高木貞治の類体論を完成させたアルティンです)で約3割とされている。無限個あるかどうかは未知だ。・・・」

Toshiさんのブログ 「 素数を分母とする循環小数とその周辺」 http://blogs.yahoo.co.jp/ggb01540/711698.html 参照♪...引用できないのは何故ぇ~~~^^;...?

ガウス(Gauss)によると100までの数で10を原始根とする素数は7,17,19,23,29,47,59,61,97の9個だそうです・・・」

10^(p-1)≡1  mod p
10^2≡1 mod 3...10≡1  だから駄目...
10^10≡1 mod 11...10^2≡1 で駄目...
10^12≡1 mod 13...10^3≡-1 だから、10^6≡1 で駄目...
10^16≡1 mod 17...10^2, 10^4 までに±1があれば無理だけど...ないからあり...ってことは...10^8≡-1 のはずね...((10^8) + 1) / 17 = 5882353 たしかに!!


「【10を原始根とする素数】
1/7=0.142857142857・・・
    (循環節:142758の長さ6)
1/17=0.0588235294117647・・・
    (循環節:0588235294117647の長さ16)
のように,1/pを10進法で小数展開したときの循環節の長さがp-1となる特別な素数を10を原始根とする素数といいます.
 
10を原始根とする素数,たとえば,
7,17,19,23,29,47,59,61,97,・・・
の密度について,アルティンは
  π10(x)=Cx/(logx)
と予想しています.
ただし,pを素数として,Cは
  
C=Π(1-1/p(p-1))=0.37395・・・(アルティンの定数)
 
ここでふたたび,オイラー積のアナログ:アルティン積が出現しました.もし,これが正しいとすれば,このような素数は無限にあり,素数全体のうち約3/8を占めることになるのですが,残念ながら証明されていません.
しかしながら,リーマン予想:ζ(s)の零点がs=-2,-4,・・・,-2nとs=1/2+tiの線上にある:が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています.」


『原始根の定義...
(p-1)乗して「初めて」1と合同になるα 』

...つまり...7の原始根は10
10を原始根とする素数が完全循環素数(レプテンド)...ややこしやぁ~...^^;

「13を法とする剰余系から0を除いた各剰余を横に並べる. それぞれのべきを縦方向に順次書いてみる. 1が出ればそこからは同じことがくり返される.それは省略している.



である.したがって http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img1083.gif の段に1が並ぶのは当然であるが, 2,6,7,11 は12乗してはじめて1と合同であり, しかも途中の http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img1084.gif が 13を法とする既約剰余系の代表の組となっている. そこで http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img8.gif が http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img696.gif 乗してはじめて1と合同になるとき, http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img8.gif を http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img402.gif を法としての原始根という. 略して http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img402.gif の原始根ともいう.・・・
既約剰余系でみればhttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img1116.gifであることが http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img1117.gif が原始根 であるための必要十分条件である.したがって原始根はhttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/images/img1118.gif個ある.


*けっきょく...p-1乗してはじめて1と合同になる数aをその法に関する原始数と呼び...
10を原始数とする素数を完全循環素数っていう...
だから...13は10を原始数には持たないけど...上の2,6,7,11を原始数に持つっていうわけね...
しかも...その探し方は実際に確認しなきゃわからないんだろか...^^;...?
ややこしやぁ~~~^^;...

調べてみたら...平方剰余の定理ってのを使って求めるらしい...
れいの、ルジャンドルさんのひねり出した記号が出てくるよう...
ややこしやぁ~~~^^;;...
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