5009:求値...定積分...

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問題5009・・・やどかりさんのブログ  
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29986871.html  より Orz~

 I=∫0π θsinθ√(1+sinθ)dθ の値は?



























































解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30042611.html  より Orz~

 θ=π-φ とおけば、dθ=-dφ ,θ=0 のとき φ=π ,θ=π のとき φ=0 だから、

I=-∫π0 (π-φ)sin(π-φ)√{1+sin(π-φ)}dφ
=∫0π (π-φ)sinφ√(1+sinφ)dφ
=π∫0π sinφ√(1+sinφ)dφ-∫0π φsinφ√(1+sinφ)dφ
=π∫0π sinθ√(1+sinθ)dθ-I

よって、

I=(π/2)∫0π sinθ√(1+sinθ)dθ
=(π/2)∫0π sinθ{cos(θ/2)+sin(θ/2)}dθ
=(π/4)∫0π {2sinθcos(θ/2)+2sinθsin(θ/2)}dθ
=(π/4)∫0π {sin(3θ/2)+sin(θ/2)-cos(3θ/2)+cos(θ/2)}dθ
=(π/4)[-(2/3)cos(3θ/2)-2cos(θ/2)-(2/3)sin(3θ/2)+2sin(θ/2)]0π
=(π/4){(2/3+2)-(-2/3-2)}=4π/3

となります。 


*頭の体操にも近いけど...^^
θ=π-φ の置き換えにも...
1+sin2θ=(cosθ)^2+(sinθ)^2+2sinθ*cosθ=(sinθ+cosθ)^2 にも気づけなんだぁ...^^;...

・uch*n*anさんのもの Orz~

[解答]では,前者は θ = π - φ の置換で,後者は,
1 + sinθ = (cos(θ/2))^2 + (sin(θ/2))^2 + 2cos(θ/2)sin(θ/2) = (cos(θ/2) + sin(θ/2))^2
を用いて √ をはずすことで,対処しています。
ただ,他にも対処方針はあり,前者は部分積分で,後者は適当な置換でも,対処できます。
もっとも,いきなりの部分積分は後が大変なので,θ = 2φ で √ をはずしてからがよさそうです。
これが私の(解法2)でした。ご参考までに示しておきましょう。
なお,θ = π - φ の置換がうまくいくのは,
θsinθ√(1 + sinθ) の θ = π/2 での対称性によるところが大きいです。
これをより強く意識した解法も,(解法3)として,ご参考までに示しておきましょう。

(解法2)
I = ∫[0,π]{θsinθ√(1 + sinθ)}dθ
θ = 2φ と置換すると,
I = ∫[0,π/2]{2φsin(2φ)√(1 + sin(2φ)) * 2}dφ
= 8 * ∫[0,π/2]{φsinφcosφ√((sinφ)^2 + (cosφ)^2 + 2sinφcosφ)}dφ
= 8 * ∫[0,π/2]{φsinφcosφ√((sinφ + cosφ)^2)}dφ
= 8 * ∫[0,π/2]{φsinφcosφ(sinφ + cosφ)}dφ
= 8 * ∫[0,π/2]{φ(cosφ(sinφ)^2 + sinφ(cosφ)^2)}dφ
= 8 * ∫[0,π/2]{φ(((sinφ)^3/3)' - ((cosφ)^3)'/3)}dφ
= 8 * ([φ((sinφ)^3/3 - (cosφ)^3/3)][0,π/2] - ∫[0,π/2]{(sinφ)^3/3 - (cosφ)^3/3)}dφ)
= 8 * (π/6 - ∫[0,π/2]{(sinφ)^3}dφ/3 + ∫[0,π/2]{(cosφ)^3}dφ/3)
最後の項を φ -> π/2 - φ と置換すると,
= 8 * (π/6 - ∫[0,π/2]{(sinφ)^3}dφ/3 + ∫[π/2,0]{(cos(π/2 - φ))^3 * (-1)}dφ/3)
= 8 * (π/6 - ∫[0,π/2]{(sinφ)^3}dφ/3 + ∫[0,π/2]{(sinφ)^3}dφ/3)
= 8 * π/6
= 4π/3
になります。

(解法3) 更なる別解
I = ∫[0,π]{θsinθ√(1 + sinθ)}dθ
θ = π/2 + φ と置換すると,
I = ∫[-π/2,π/2]{(π/2 + φ)sin(π/2 + φ)√(1 + sin(π/2 + φ))}dφ
= π/2 * ∫[-π/2,π/2]{cosφ√(1 + cosφ)}dφ + ∫[-π/2,π/2]{φcosφ√(1 + cosφ)}dφ
ここで,cosφ√(1 + cosφ) は偶関数,φcosφ√(1 + cosφ) は奇関数なので,
∫[-π/2,π/2]{cosφ√(1 + cosφ)}dφ = 2 * ∫[0,π/2]{cosφ√(1 + cosφ)}dφ
∫[-π/2,π/2]{φcosφ√(1 + cosφ)}dφ = 0
がいえて,
I = π∫[0,π/2]{cosφ√(1 + cosφ)}dφ
x = cosφ と置換すると,dx/dφ = - sinφ,dφ/dx = - 1/sinφ = - 1/√(1 - x^2) より,
I = π∫[1,0]{x√(1 + x) * (- 1/√(1 - x^2))}dx
= π∫[0,1]{x/√(1 - x)}dx
= π∫[0,1]{x * (- 2√(1 - x))'}dx
= π([x * (- 2√(1 - x))][0,1] + 2∫[0,1]{√(1 - x)}dx)
= 2π∫[0,1]{√(1 - x)}dx
= 2π[- 2/3 * (1 - x)^(3/2)][0,1]
= 2π(0 - (- 2/3 * 1))
= 4π/3
になります。


*すごいなぁ...^^;
熟読玩味ぃ~Orz~
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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 ^^;v
調子悪し...Orz...
風邪薬のせいかいなぁ...?...ならいいんだけど...^^;
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