4959:求値...a(n)=n^2-a(n-1)...

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問題4959・・・やどかりさんのブログ  
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29703485.html  より Orz~

 a1=1 ,an=n2-an-1 (n=2,3,4,……) で表される数列{ an } において、a28=?


























































解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29770443.html  より Orz~

[解答1] 

an+1=(n+1)2-an ,(-1)n+1an+1=(-1)nan+(-1)n+1(n+1)2 だから、
{ (-1)nan }の階差数列が{ (-1)n+1(n+1)2 }になります。

a28=(-1)28a28=(-1)a1+(-1)2・22+(-1)3・32+(-1)4・42+……+(-1)27・272+(-1)28・282 
=-1+22-32+42+……-272+282=-(1-2)(1+2)-(3-4)(3+4)-……-(27-28)(27+28)
=1+2+3+4+……+27+28=28・29/2=406 です。

☆ n が偶数のとき、同様に、an=1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2 になり、

n が奇数のときは、an=n2-an-1=n2-(n-1)n/2=n(n+1)/2 で、
いずれの場合も、an=n(n+1)/2 です。 


[解答2] 

an+1=(n+1)2-an=(n+1)2-n2+an-1=an-1+2n+1 、
a2n+1=a2n-1+4n+1 だから、{ a2n-1 }の階差数列が{ 4n+1 }になります。 

よって、
a27=a1+(4・1+1)+(4・2+1)+(4・3+1)+……+(4・13+1)=1+2・13(13+1)+13=378 で、
a28=282-a27=784-378=406 です。

☆ n が奇数のとき、同様に、an=1+2{(n-1)/2}{(n-1)/2+1}+(n-1)/2=n(n+1)/2 になり、
n が偶数のときは、an=n2-an-1=n2-(n-1)n/2=n(n+1)/2 で、
いずれの場合も、an=n(n+1)/2 です。

*漸化式は悔しいけれど...気づきにくいわたし...
で...強引に...^^;
a(n)=n^2-((n-1)^2-((n-2)^2)-...-1)
={n^2-(n-1)^2}+{(n-2)^2-(n-3)^2}+...+{2^2-1}
a(28)=(28^2-27^2)+(26^2-25^2)+...+(2^2-1^2)
=55+51+47+...+3
=14*58/2=406

To be continued...
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コメント

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スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

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スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 ^^v
う~む...^^;...
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