4716:弦...半円に内接する円...

イメージ 2

問題4716・・・やどかりさんのブログ  
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/28309076.html  より Orz~

イメージ 1

図のように、AB=50 を直径とする半円があり、中に小さな円が、
半円の弧と点Pで、直径と点Qで接しています。
PからABに垂線PHをおろすと、PH=7 になりました。このとき、PQ=?


























解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/28390693.html  より Orz~
  

イメージ 3


[解答1] 

ABの中点をO,円の中心をCとします。
また、O(0,0),A(-25,0),B(25,0),C(a,b),P(p,7) (p>0) と座標を決めます。

p2+72=252 だから、
p2=(25+7)(25-7)=32・18 、p=24 、P(24,7) になります。
OC:CP=OC:CQ=OP:PH=25:7 だから、C(24・25/32,7・25/32) 、C(75/4,175/32) になり、
Q(75/4,0) です。
PQ=√{(21/4)2+72}=(7/4)√(32+42)=35/4 です。


☆ Pでの接線は 24x+7y=625 だから、この接線と x軸の交点を R とすれば R(625/24,0) で、
PR=√{(49/24)2+72}=(7/24)√(72+242)=175/24 です。
QR=PR だから、625/24-175/24=75/4 、Q(75/4,0) としても求められます。


[解答2] 

ABの中点をO,円の中心をCとします。

2∠APC=∠APC+∠PAO=∠COQ 、2∠QPC=∠QPC+∠PQC=∠OCQ 、
よって、2(∠APC+∠QPC)=∠COQ+∠OCQ 、2∠APQ=90゚ 、∠APQ=∠BPQ=45゚ です。

次に、AH+BH=50,AH・BH=PH2=49 (ABに関して対称な図を書くと方べきの定理) だから、
AH,BH は x2-50x+49=0 の解で、AH=49,BH=1 です。
三平方の定理より、PA=35√2,PB=5√2 になります。

ここで、2△PAQ+2△PBQ=2△PAB だから、
35√2・PQ/√2+5√2・PQ/√2=35√2・5√2 、40・PQ=350 、PQ=35/4 です。


・uch*n*anさんのもの Orz~

(解法2)
AB の中点,大きな円の中心,を O,小さな円の中心を C,半径を r とします。
OP = 25 で,二つ円は接するので共通接線と OP,CP は直交します。
そこで,O,C,P はこの順に同一直線上にあります。
CQ⊥AB より △OCQ ∽ △OPH で,OC:OP = CQ:PH,(25 - r):25 = r:7,r = 7 * 25/32。
ここで,OP と 円C との交点を R とすると,
円C は AB と Q で接し ∠PRQ = ∠PQH,PR は 円C の直径より ∠PQR = 90°= ∠PHQ,
となって,△PQR ∽ △PHQ になります。これより,
PR:PQ = PQ:PH,PQ^2 = PR * PH = 7 * 25/32 * 2 * 7 = (35/4)^2
そこで,PQ = 7 * 5/4 = 35/4,になります。

(解法5)
AB の中点,大きな円の中心,を O,小さな円の中心を C とします。
OP = 25 で,二つ円は接するので共通接線と OP,CP はそれぞれ直交します。
そこで,O,C,P はこの順に同一直線上にあります。
ここで。OP と 円C との交点を R とすると,PR は 円C の直径なので ∠PQR = 90°で,
円C は AB と Q で接するので ∠OPQ = ∠RQO = 90°- ∠PQH = ∠HPQ,となって,
OQ:HQ = PO:PH = 25:7,OH = √(25^2 - 7^2) = 24,QH = 24 * 7/32 = 7 * 3/4
そこで,△QHP は 3:4:5 の直角三角形なので,PQ = 7 * 5/4 = 35/4,になります。


*円に対する接線だから...O-C-P は一直線上にあることに気づけば計算だけですね ^^v
25^2-7^2=24^2
7/24=y/x=√(x^2+y^2)/(24-x) 
(↑Pと2円の中心は1直線上にあるから ^^)
x=21/4
PQ^2=(21/4)^2+7^2
=1225/16
PQ=35/4

25-24-7 がピタゴラス数なんですねぇ ^^
関連記事
スポンサーサイト



コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 & ✌
非公開コメント

トラックバック