4225:3色のカード...色が連続しない9枚の並べ方...

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問題4225・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24584746.html#24584746 より Orz~

赤・青・黄の3色のガードが沢山あります。
両端の色が同じで、隣り合う色が異なるように、9枚を1列に並べる方法は何通り?




























































解答


[解答1] 地道を承知で数え上げ、uch*n*anさんの模範解答

まず,両端が赤の場合を考えます。青や黄の場合も同じなので後で 3 倍すればいいです。

・両端以外に赤がない場合

青と黄を交互に並べるので,2 通り。

・両端以外に赤が一つある場合

赤は 3, 4, 5, 6, 7 番目に可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,5・22=20 通り。

・両端以外に赤が二つある場合

赤は 3 番目と 5, 6, 7 番目,4 番目と 6, 7 番目,5 番目と 7 番目,に可能で,
その間は青と黄を交互に並べるので,6・23=48 通り。

・両端以外に赤が三つある場合

赤は 3, 5, 7 番目だけが可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,1・24=16 通り。

・両端以外に赤が四つ以上ある場合

明らかに不可能です。

そこで,両端が赤の場合は,2+20+48+16=86 通り。
これより,すべての場合は,86・3=258 通り,になります。


[解答2]

隣り合う色が異なるようなn枚(ただし n≧3)のカードの並べ方 3・2n-1 通りのうち、
両端の色が同じ場合を an 通りとすると、
両端の色が異なる場合は(最後に最初と同色のカードを追加すると) an+1 通りになります。
よって、an+1+an=3・2n-1 です。
an+1+an=2n+2n-1 、 an+1-2n=-(an-2n-1) となって、
数列{ an-2n-1 }は公比が -1 の等比数列です。
an-2n-1=(a2-21)(-1)n-2 、
ここで、a2=0 だから、an=2n-1+2(-1)n-1 になります。
従って、a9=28+2=258 になります。

* わたしの...

巧い方法思いつかず...^^;...
xooooooox の間にxが何個あるかで場合分け...^^;
xの次は2種類取れるので...
0個...2...1通り...1*2
1個...2^2...1個の取り方は...3~7までの5通り...5*2^2
2個...2^3...3-5,3-6,3-7,4-6,4-7,5-7 の6通り...6*2^3
3個...2^4...3個の取り方は...3-5-7 の1通り...2^4
それ以上は取れないので...
合計=2+5*2^2+6*2^3+2^4
=2+20+48+16
=86
最初の色は3種類なので...
3*86=258

漸化式はわかったけど...一般式がわからない...^^;

f(k)=2Σ{3~m~(k-2)}f(m)+2
f(1)=f(2)=0
f(3)=2
f(4)=2
f(5)=2*(2)+2=6
f(6)=2*(2+2)+2=10
f(7)=2*(2+2+6)+2=22
f(8)=2*(2+2+6+10)+2=42
f(9)=2*(2+2+6+10+22)+2=86
この3倍なので...3*86=258
漸化式は苦手だなぁ...Orz...
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コメント

No title

スモークマン

遅ればせながら...^^;...Orz~
やどかりさんの解答のアップです♪
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