4058:格子点...

イメージ 4

イメージ 1


問題4058・・・水の流れ http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html より Orz~

 nを正の整数とする。
座標平面上の点(x,y)が 不等式4|x|+3|y|≦12nを満たす領域について、
次の問に答えよ。 
なお、x,yがともに整数である点(x,y)を格子点という。
また、|x|は絶対値xを表す記号です。

(1)最初に、x,yがともに自然数であるときの格子点の数をnで表せ。
(2)領域にあって、両座標軸上の格子点の数をnで表せ。
(3)領域にあるすべて格子点の数をnで表せ。

さらに、別な解法として

(4)境界線上の格子点の数をnで表せ。
(5)領域の面積を求めよ。
(6)(4), (5)を利用して、領域にあるすべて格子点の数をnで表せ。

























































解答

上記サイトより

・ucinyanさんのもの Orz~

(1)
xを自然数とします。すると,
0 < 4x + 3y <= 12n
0 < 1 <= y <= 4n - 4/3 * x
そこで,1 <= x <= 3n-1 で,を自然数として,
x = 3k-2 のとき,y = 1, 2, ..., 4n-4k+2
x = 3k-1 のとき,y = 1, 2, ..., 4n-4k+1
x = 3k のとき,y = 1, 2, ..., 4n-4k
これより,k = n のとき 4n-4k = 0 なので,格子点の数は,
Σ[k=1,n]{(4n-4k+2) + (4n-4k+1) + (4n-4k)}
Σ[k=1,n]{12(n-k) + 3}
= 12 * n(n-1)/2 + 3n
= 3n(2n-1) 
になります。
 
(2)
軸上は y = 0 なので,4|x| <= 12n-3n <= x <= 3n で,6n+1 個。
軸上は x = 0 なので,3|y| <= 12n-4n <= y <= 4n で,8n+1 個。
ここで,原点(0,0) を重複して数えているので,座標軸上の格子点の数は,
(6n+1) + (8n+1) - 1 = 14n+1 
になります。
 
(3)
(1) xが自然数ということは,座標平面上では座標軸を除いた第1象限
ということです。
一方で,4|x| + 3|y| = 12n のグラフは x 軸,軸に対称なので,
領域内のすべての格子点の数は,
3n(2n-1) * 4 + (14n+1) = 24n^2 + 2n + 1 
になります。
 
(4)
境界線は 4|x| + 3|y| = 12n  x 軸,軸に対称です。
そこで,両端を調整すれば,0 <= x <= 3n-1 を考え,倍すればいいです。
0 <= x <= 3n-1 では,4x + 3y = 12ny = 4n - 4/3 * x なので,
を自然数として x = 3k の場合のみ格子点は存在し,
(0,4n), (3,4(n-1)), ..., (3(n-1),4)  n 個。
そこで,すべての境界線上の格子点の数は,4n 個,になります。
 
(5)
4|x| + 3|y| = 12n のグラフは x 軸,軸に対称なので,
軸,軸,4x + 3y = 12n で囲まれる三角形の面積の 4 倍が領域の面積にな
ります。
そこで,3n * 4n * 1/2 * 4 = 24n^2,になります。
 
(6)
面積から内部の格子点の数を求めるには,次のピックの定理を使うのがい
いでしょう。
多角形の内部にある格子点の個数を I,辺上にある格子点の個数を B とす
ると
多角形の面積 S = I + B/2 - 1

そこで,これを使うと,S = 24^2B = 4n なので,
24n^2 = I + (4n)/2 - 1
I = 24n^2 - 2n + 1
ここで求める領域は,4|x| + 3|y| <= 12n で,境界を含むので,を足して,
I + B = 24n^2 + 2n + 1 
になります。
当然ですが,(3)の結果と一致します。
 
・MVHさんのもの Orz~
イメージ 2

・わたしの...

(1)  y=-4x/3=3n だから...
長方形 4n x 3n で考えると…
対角線上には... [4n/3]-1 個の格子点
長方形内部には (4n-1)*(3n-1)=12n^2-7n+1 個の格子点
けっきょく…
{12n^2-7n+1-([4n/3]-1)}/2+([4n/3]-1)
=(12n^2-7n+[4n/3])/2

2)領域にあって、両座標軸上の格子点の数をnで表せ。

2*(4n+3n)+1=14n+1

3)領域にあるすべての格子点の数をnで表せ。

4*(12n^2-7n+[4n/3])/2+14n+1
=24n^2+2[4n/3]+1

さらに、別な解法として

4)境界線上の格子点の数をnで表せ。

自然数の場合の数に両先端の2個を加えて...[4n/3]-1+2=[4n/3]+1
4隅が重複してるから...-4
4*([4n/3]+1)-4=4*[4n/3]

Junko先生のサイト より Orz~

・夜ふかしのつらいおじさん さんのもの Orz~

4|x|+3|y|=12 のグラフは、 http://www.junko-k.com/cgazou16/collo1920-1.gif  と変形すると、
切片が (3n,0),(0,4n),(-3n,0),(0,-4n) であるような菱形です。
調べる領域は菱形の内部です。
イメージ 3
(1)x,yがともに自然数であるときは、第1象限です。
1)図の赤色の部分(傾き-1の赤線以下の部分)
2)図の黄色の部分(傾き-1の線で分類して数える。nが2,3,・・・,nと変わると
3ずつ増える)
3)図の青色の部分(直線上のところ)
n-1 個
以上から、
イメージ 5

関連記事
スポンサーサイト



コメント

No title

スモークマン

水野先生の問題の解答がアップされました♪
非公開コメント

トラックバック