4054:異なる数の積の和...

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問題4054・・・算チャレ掲示板にてぽっぽさん提示問 Orz~

(1) 1~n から異なる2数を選んだときそれらの積の和は?

(2) 1~n から異なる3数を選んだときそれらの積の和は?

























































解答

・わたしの

(1)
 
(1+2+3+...+n)^2=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+2(1*2+1*3+...+2*3+...)
(n(n+1)/2)^2=n(n+1)(2n+1)/6=2m
m=n^2*(n+1)^2/8-n(n+1)(2n+1)/12
   =n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)}/24
   =n(n+1)(3n^2-n-2)/24
   =(n-1)n(n+1)(3n+2)/24
   =(n+1)C3*(3n+2)/4

(2)

1*2+1*3+...+1*n+2*3+2*4+...+2*n+...+n(n-1)=(n+1)C3*(3n+2)/4
(1*2+1*3+...+1*n+2*3+2*4+...+2*n+...+n(n-1))(1+2+3+...+n)
=1^2*2+1*2^2+1*2*3+...
=a+2b
=(n+1)C3*(3n+2)/4*n(n+1)/2
(1+2+3+...+n)^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3+3a+6b=(n(n+1)/2)^3
3a+6b=(n(n+1)/2)^3-n(n+1)(2n+1)/6

この連立2次方程式を解けばいいのかなぁ...^^;?
続きはまた考えてみますけど...Orz~

*上記サイトより Orz~

abcba@jugglermokaさんのもの Orz~

求める値は3つの数字で同じ数字が1つの場合(互いに異なる)と考えられる。 
(1+2+.....+N)^(3)から同じ数字が3つの場合と同じ数字が2つの場合の3倍を引いた数を6で割ればよい。ここで、同じ数字が2つの場合3倍は3C2(並べ替え)からの影響である。同じ数字が3つの場合は3C3=1なので1倍。同じ数字が1つの場合は3!=6倍。 

同じ数字が3つの場合→(1^(3)+2^(3)+....+N^(3)) 
同じ数字が2つの場合→(1^(2)+2^(2)+....+N^(2))(1+2+....+N)-(1^(3)+2^(3)+....+N^(3)) 
なので、 
〔(1+2+.....+N)^(3)-(1^(3)+2^(3)+....+N^(3))×1-{(1^(2)+2^(2)+....+N^(2))(1+2+....+N)-(1^(3)+2^(3)+....+N^(3))}×3〕÷6 
=〔(N(N+1)/2)^(3)-(N(N+1)/2)^(2)×1-{(N(N+1)(2N+1)/6)×(N(N+1)/2)-(N(N+1)/2)^(2))}×3〕÷6 
=(N^(2)(N+1)^(2)/48)×(N(N+1)+4-2(2N+1)) 
=(N^(2)(N+1)^(2)/48)×(N-1)(N-2) 
=(N(N+1)/2)×(N(N+1)(N-1)(N-2)/24) 
=((n+1)C2)*(n+1)C4) 

*なるほど~♪

げんさん さんのもの Orz~

式に意味づけできるのかもしれませんが,私にはよく分かりません。 
(n+1)C2*(n+1)C4 
=n(n+1)/2 * n(n+1)(n-1)(n-2)/24 
=(Σn)^2 * (1+2+3+...+(n-2))/3! 

*なるほど巧い変形ですね...さてこの意味は...^^;?
選ばれる数を a*b*c とすると...
a<b<c
a=1~n-2
b=2~n-1
c=3~n
これでスマートに考えられないのかなぁ...^^;...?
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コメント

No title

スモークマン
相異なるa,b,c の積
12n,1n2,21n,2n1,n12,n21...
n(n-1)(n-2),n(n-2)(n-1),(n-1)n(n-2),(n-1)(n-2)n,(n-2)n(n-1),(n-2)(n-1)n
と...n-2 までは...6種類のものができる...しかも...残り2個は...1~nまで動ける...
けっきょく...(n(n+1)/2)^2*(1+2+3+...+(n-2))/3!

でも...
1~n で異なる2個の積の和...
(n(n+1)/2)*(1+2+...+(n-1))/2!
=n(n+1)/2*n(n-1)/4...これは合わない...なぜなんだろ...?

No title

スモークマン
>やどかりさんへ ^^
なるほど!!
これも巧いですねぇ♪
Orz~
げんさんの式変形から何かあるのではと考えてたりするわたし...^^;...
1~nまでのk個の数の積の和の一般式ってありそう...?

No title

ヤドカリ
2数の積の総和は、n*(n+1)*(n-1)*(3n+2)/24、
そのうち、ある数kを含むものを除くと、
n*(n+1)*(n-1)*(3n+2)/24 - (1+2+3+…+n)*k + k^2
= n*(n+1)*(n-1)*(3n+2)/24 - n*(n+1)*k/2 + k^2
従ってkを含む3数の積の総和は、
n*(n+1)*(n-1)*(3n+2)*k/24 - n*(n+1)*k^2/2 + k^3
k=1~n まで変化させて加えると、
Σ{ n*(n+1)*(n-1)*(3n+2)*k/24 - n*(n+1)*k^2/2 + k^3 }
= n^2*(n+1)^2*(n-1)*(3n+2)/48 - n^2*(n+1)^2*(2n+1)/12 + n^2*(n+1)^2/4
= ……
= n^2*(n+1)^2*(n-1)*(n-2)/16
同じものを3度ずつ加えているから、この 1/3 が3数の積の総和です。
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