3740:2本の接線...

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問題3740・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/17627806.html#17627806 より Orz~


点(4,a)から曲線 y=x3-2x+9 に接線を引くとき、引ける接線が2本だけであるときのaの値は?




































解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/18155457.html より Orz~


[解答1]

 y=x3-2x+9 より、y'=3x2-2 だから、
 接点を(t,t3-2t+9)とすれば、
 接線は、y=(3t2-2)(x-t)+t3-2t+9、
 これが、点(4,a)を通るから、a=(3t2-2)(4-t)+t3-2t+9、
 簡単にして、a=-2t3+12t2+1、
 これが、2種類の実数 t について成り立てばよいので、
 t についてのこの3次方程式が異なる2つの実数解をもつようにaを定めることになります。
 f(t)=-2t3+12t2+1 とおくと、
 aがこの3次関数の極値であればよいことになります。
 f'(t)=-6t2+24t=-6t(t-4) だから、
 極小値は f(0)=1、極大値は f(4)=65 となって、a=1,65 。


[解答2]

 y=x3-2x+9 と y=m(x-4)+a の接点のx座標をtとします。
 x3-2x+9=m(x-4)+a は重解tともう1つの解uをとるものとすると、
 x3-(m+2)x+4m+9-a=0 も解が t,t,u だから、解と係数の関係より、
 2t+u=0,t2+2tu=-m-2,t2u=-4m-9+a となります。
 u,m を消去して、2t3-12t2+a-1=0、
 これが、2種類の実数 t について成り立てばよいので、
 t についてのこの3次方程式が異なる2つの実数解をもつようにaを定めることになります。
 重解をp,他の解をq とすると、解と係数の関係より、
 2p+q=6,p2+2pq=0,p2q=(-a+1)/2 となります。
 最初の2式より、(p,q)=(0,6),(4,-2) で、
 最後の式より、a=-2p2q+1 だから、a=1,65 となります。


[参考1]

 接線の式は、いずれの場合も t=0,4 のときで、 y=-2x+9, y=46x-119 です。


[参考2]

 ある点Pから3次関数のグラフGへ引いた接線の本数について
 Gの変曲点での接線をHとすると、G,Hによって座標平面が4つの領域に分けられます。
 Pが変曲点を除くG,H上の点である場合は2本、
 Pが4つの領域のうち左右(G,Hの両方より左または右)にある場合は3本、
 Pが4つの領域のうち上下(G,Hの両方より上または下)にある場合と変曲点の場合は1本、
 となります。
 本題では、Gが y=x3-2x+9 、Hが y=-2x+9 だから、
 P(4,a)がG,H上の点である場合は、a=65,1 となります。


*これは考え方わかった...^^v
ちなみにわたしの...
x3-2x+9 の上の点と(4,a) を通る直線は...
(3x2-2)(x-4)=y-a=x3-2x+9-a
2x3-12x2+a-1=0
これが2実根をもつということは...一つは重根...
2x3-12x2+a-1=2(x-p)2*(x-q)
=2x3-2(2p+q)x2+2p(p+2q)x-2p2*q
p(p+2q)=0
2p+q=6
2p2*q=1-a

p=0 のとき...
q=6, a=1

p+2q=0 のとき...
4p+2q=3p=12
p=4,q=-2
2p2*q=-32*2=1-a
a=1+64
=65
けっきょく...
a=1 or 65

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