3739:三角比の計算...

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問題3739・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/17547441.html#17576810 より Orz~

cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=?

















































解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/18074935.html より Orz~

[解答1] ふじもさんの解答より (説明を追加しています)

 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは、2cos36゚=(√5+1)/2
 cos36゚=(√5+1)/4
 cos72゚=2cos236゚-1=(√5+1)2/8-1=(√5-1)/4
 cos48゚・cos12゚=(1/2)(cos60゚+cos36゚)=(3+√5)/8
 cos84゚・cos24゚=(1/2)(cos60゚-cos72゚)=(3-√5)/8
 この4個の式を掛けると、
 (√5+1)(√5-1)(3+√5)(3-√5)/(4・4・8・8)=1/64 となります。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

上記サイト参照願います...^^;...Orz~

[解答3] uch*n*anさんの解答より

 V=cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚ とおくと、
 V・sin12゚・sin36゚=(sin12゚・cos12゚・cos24゚・cos48゚・cos84゚)(sin36゚・cos36゚・cos72゚)
    =(1/4)(sin24゚・cos24゚・cos48゚・cos84゚)(sin72゚・cos72゚)
    =(1/16)(sin48゚・cos48゚・cos84゚)・sin144゚
    =(1/32)(sin96゚・cos84゚)・sin36゚=(1/32)(sin84゚・cos84゚)・sin36゚
    =(1/64)・sin168゚・sin36゚=(1/64)・sin12゚・sin36゚
 よって、V=1/64 となります。


[解答4]

 V=cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚ とおくと、
 V=2・(-cos120゚)・(-cos168゚)・cos24゚・(-cos144゚)・cos48゚・cos72゚・(-cos96゚)
  =2・cos24゚・cos48゚・cos72゚・cos96゚・cos120゚・cos144゚・cos168゚
 θ=24゚,48゚,96゚,120゚,168゚ のとき、cos5θ=-1/2 を満たします。
  16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=-1/2
  cos24゚,cos48゚,cos96゚,cos120゚,cos168゚ は 32x5-40x3+10x+1=0 の解で、
  すべて異なるから、その積は、解と係数の関係により、-1/32 、
 θ=72゚,144゚ のとき、cos5θ=1 を満たします。
  16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=1
  cos72゚,cos144゚ は 16x5-20x3+5x-1=0 の解、
  (x-1)(4x2+2x-1)2=0 の解、4x2+2x-1=0 の解で、
  その積は、解と係数の関係により、-1/4 、
 従って、V=2(-1/32)(-1/4)=1/64 となります。


[解答5]

 sin2θ=2sinθcosθ より、2cosθ=(sin2θ)/(sinθ) となります。
  2cos12゚=(sin24゚)/(sin12゚)
  2cos24゚=(sin48゚)/(sin24゚)
  2cos36゚=(sin72゚)/(sin36゚)
  2cos48゚=(sin96゚)/(sin48゚)=(sin84゚)/(sin48゚)
  2cos72゚=(sin144゚)/(sin72゚)=(sin36゚)/(sin72゚)
  2cos84゚=(sin168゚)/(sin84゚)=(sin12゚)/(sin84゚)
 この6個の式を掛けて、64・cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=1
 cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=1/64 になります。

*いろいろな方法があるものね~^^;v
解答4が面白いな♪
わたしは...解答5に遅ればせながらやっと気付けたけど...やや愚すく...^^;

sin12*cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚
=(1/2)sin24*cos24*cos36*cos48*cos72*cos84
=(1/4)sin48*cos48*cos36*cos84*cos72
=(1/8)sin96*cos84*cos36*cos72
=(1/8)cos6*sin6*cos36*cos72
=(1/16)sin12*cos36*cos72
両辺に sin36を掛けると...右辺は...
(1/16)*sin36*cos36*cos72
=(1/32)sin72*cos72
=(1/64)sin144
=(1/64)*sin36
よって...
与式は...1/64

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