3738:軌跡の面積...2個の円を結ぶ中点...

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問題3738・・・算数にチャレンジ!!http://www.sansu.org/ より Orz~

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上の図のような線分ABがあります。
いま、Aを中心とする半径3cmの円周上を点Pが、Bを中心とする半径5cmの円周上を点Qが自由に動きます。このとき、線分PQの中点M(真ん中の点)が動くことのできる範囲の面積は何cm^2であるかを求めてください。なお、もし円周率が必要であれば、3.14としてください。

































解答

上記サイトより Orz~

・圭太さんのもの Orz~

ABの距離が設定ないことより、同一点として考えました。
すると最大の中点の軌跡は、半径4cmの円。
最小の中点の軌跡は、半径1cmの円。
よって、(4*4-1*1)*3.14=47.1cm^2

*なるほど...ある意味常套手段ですね♪

・meicheさんのもの Orz~

Qを固定したら半径3/2の円ができる。
こんどはQを動かすとその半径3/2の円の中心が半径5/2の円周を動く。

*そっか...少し悩んでた...^^;...

・uchinyanさんのもの Orz~

P,Q の二点の両方を同時に動かすとややこしくなるので,まずは,P を固定し Q だけを動かします。
P と B を結び 直線PB と 円B との交点を P に近い方から C,D とします。
さらに,Q が C に一致したときの M を E,Q が D に一致したときの M を F とします。E は PC の中点,F は PD の中点です。
すると,任意の Q に対して,∠CQD = 90°で,
PM = QM,PE = EC より ME//QC,PM = QM,PF = FD より MF//QD,なので,
∠EMF = ∠CQD = 90°になり,M は EF を直径とする円を描きます。
このときの円の中心は EF の中点です。これを N とします。そして,
円の半径 = EN = FN = EF/2 = (PF - PE)/2 = (PD/2 - PC/2)/2 = (PD - PC)/4 = CD/4 = BC/2 = 5/2 cm
また,PN = PE + EN = PC/2 + EF/2 = PC/2 + BC/2 = PB/2 なので,N は PB の中点です。
ここまでで,P を固定した場合に,M は,中心を N,半径 5/2 cm,の円を描くことが分かりました。
次に,P を動かします。
A と B を結び 直線AB と 円A との交点を B から遠い方から G,H とします。
さらに,P が G に一致したときの N を I,P が H に一致したときの N を J とします。I は BG の中点,J は BH の中点です。
すると,先ほどと全く同じようにして,任意の P に対して,∠GPH = 90°で,
PN = BN,GI = BI より NI//PG,PN = BN,HJ = BJ より NJ//PH,なので,
∠INJ = ∠GPH = 90°になり,N は IJ を直径とする円を描きます。
このときの円の中心は IJ の中点です。これを O とします。そして,
円の半径 = IO = JO = IJ/2 = (BI - BJ)/2 = (BG/2 - BH/2)/2 = (BG - BH)/4 = GH/4 = AG/2 = 3/2 cm
そこで,円N の中心 N は,中心を O,半径 3/2 cm,の円を描くことが分かります。
以上で,結局,M の軌跡は,中心 O で半径 3/2 cm の円周上に中心 N がある半径 5/2 cm の円,と分かります。
後は,これを動かしてみればいいのですが,
O から一番遠いのは,半径 5/2 + 3/2 = 4 cm の円,O から一番近いのは,半径 5/2 - 3/2 = 1 cm の円,
なので,O を中心とした半径 4 cm の円から,O を中心とした半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が,求める範囲です。
そこで,4 * 4 * 3.14 - 1 * 1 * 3.14 = 15 * 3.14 = 47.1 cm^2 になります。

この解法では,うっかりして,最後に半径 1 cm の円を引くのを忘れてしまうかもしれません。実は,私がそうでした (^^;
最初に Q を固定し,次に Q を動かすと考えると,M の軌跡は,半径 5/2 cm の円周上に中心がある半径 3/2 cm の円,となります。
一見,違って見えますが,実際に動かしてみれば,動く範囲はもちろん同じになります。
しかも,中心が同じ半径 4 cm の円から半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が求める範囲になるのは,より分かりやすいようです。

*わたしは...さいしょ...異なるような気がしておかしいと思い込んでたり...Orz~v

・鯨鯢(Keigei)さんのもの Orz~

数学で解くと、次のが簡単と思います。
P(3cosα,3sinα), Q(2b+5cosβ,5sinβ), M(x,y)とすると、
2x=3cosα+2b+5cosβ, 2y=3sinα+5sinβ、
(2x-2b)^2+(2y)^2=34+30cos(α-β)、
4≦(2x-2b)^2+(2y)^2≦64、1≦(x-b)^2+y^2≦16

*熟読玩味...^^;
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