3138:2乗の上下の数の和がもとの数

イメージ 1

問題3138・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/4290667.html#4290667 より Orz~

55^2=3025、30+25=55 です。
55のような2桁の数で、2乗すると4桁になり、
その上2桁と下2桁の和がもとの数になる、55以外のものは?
答は55以外に2つあります。























































解答

上記サイトより Orz~

 2乗した上2桁をa、下2桁をb、a+b=n とすると、
 (a+b)^2=100a+b、
 n^2=99a+n、n(n-1)=99a、
 n, n-1 の両方が3の倍数になることはないので、
 片方が9の倍数で、片方は11の倍数。
 従って、(n, n-1)=(45,44), (55,54), (99,98)。
 n=45, 55, 99。 55以外に、45 と 99。

* 20<=n <=198
n or n-1 =22,33,44,55,66,77,88,99
21-22-23,
32-33-34
43-44-45
54-55-56
65-66-67
76-77-78
87-88-89
98-99-100
で満たすものが...45,55,99 なんですね...^^;?

[参考1]

 nが2乗すると4桁以下になり、n^2を100で割った商と余りの和がもとの数になる、
 という条件をみたすとき、つまり n(n-1)=99a とすると、
 (100-n)(99-n)=9900-198n+n(n-1)=9900-198n+99a=99(100-2n+a)
 となって、100-n も同じ条件を満たします。
 このことによって、100-55=45, 100-1=99 としても求められます。
 ただ、これ以外にないことを示したことになりません。

[参考2] カプレカ数

 整数を2乗し、途中で区切って和を取ると、元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。
 この定義でのカプレカ数は、

 1,9,45,55,99,297,703,999,2223,2728,4879,4950,5050,5292,7272,7777,9999,
 17344,22222,38962,77778,82656,95121,99999,
 142857,148149,181819,187110,208495,318682,329967,351352,356643,390313,
 461539,466830,499500,500500,533170…

 この問題は2桁のカプレカ数を求める問題でした。


なるほど♪...式の立て方が巧くできなかったのが敗因 ^^;;

画像:半年振りの銀ブラ♪

関連記事
スポンサーサイト



コメント

非公開コメント

トラックバック