3120':角度 解答

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問題3120(http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/42276369.html)の解答です ^^v
算数にチャレンジ!! http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=35361&END=35385&TITLE=前週(第672回)分の過去ログ より Orz~

・uchinyanさんのもの Orz~

(解法1)
△ABQ を BQ に関し折り返し,A の移動先を D とします。∠ABQ = ∠CBQ より,D は BC 上にあります。
次に,AD と BQ の Q の方への延長との交点を E とします。BA = BD なので,BE⊥AD,AE = DE です。
すると,AE = ED,AM = MC より,EM//BC,DC = EM * 2 です。
さらに,ME を E の方に,DQ を Q の方に,それぞれ延長して,その交点を F とします。
まず,ME//BP より,△QEM ∽ △QBP で,EM:BP = EQ:QB です。
次に,EF//BD より,△QEF ∽ △QBD で,EF:BD = EQ:QB です。
これらより,EF:BD = EM:BP で,BP = BA = BD より,EF = EM になります。
そこで,FM = FE + EM = EM * 2 = DC になり,FM//DC だったので,□FDCM は平行四辺形です。
これより,FD//AC になり,∠BAQ = ∠BDQ = ∠BCA になります。
このことと,∠QAC = 23°とから,
△ABC において,∠BAQ * 2 + ∠ABQ * 2 + 23 = 180,∠BAQ + ∠ABQ = (180 - 23)/2 = 157/2 = 78.5°
△ABQ において,∠BAQ + ∠ABQ + ∠AQB = 180,∠AQB = 180 - 78.5 = 101.5°
になります。

(解法2)
BQ の Q の方への延長と,M から BC に平行に引いた直線との交点を R,
その延長と AC との交点を S,さらにその延長と A から BC に平行に引いた直線との交点を T とします。
(R は,実は,(解法1)の E と同じです。)
このとき,∠ABT = ∠CBT = ∠ATB なので,△ABT は AB = AT の二等辺三角形です。
一方で,RM//PB より,△QRM ∽ △QBP で,RQ:QB = RM:BP です。
また,RM//AT より,△SRM ∽ △STA で,RS:ST = RM:AT です。
これらと,BP = AB = AT より,RQ:QB = RS:ST になります。
ここで,R は BT 上の点ですが,AR の R の方への延長と BC との交点を U とすると,
AM = MC,RM//BC より,AR = RU,さらに,BC//AT より,BR = TR がいえます。
(U は,実は,(解法1)の D と同じです。)
そこで,先ほどの結果と合わせて,RQ = RS,BQ = TS で,R は BT,QS の中点です。
これより,△ABT は二等辺三角形だったので,AR⊥BT で,△AQS も二等辺三角形になります。
そこで,△AQS において,∠AQS = 180 - ∠AQB = ∠ASQ ,∠AQS = ∠AQC = 23°より
(180 - ∠AQB) * 2 + 23 = 180
∠AQB = (180 + 23)/2 = 203/2 = 101.5°
になります。

熟読含味 ^^;

画像:あみーさんのもの Orz~

こんな図よく思いつけるものです...♪

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