3136:無理不等式

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問題3136(友人問)

すべての正の実数x,yに対して
√x+√y<=k√(2x+y) が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

















































解答

・わたしの

(√x+√y)^2<=k^2*(2x+y)
x+y+2√xy<=k^2(2x+y)
x+y+2√xy<=x+y+(x+y)=2(x+y)
つまり...k^2(2x+y)<=2(x+y) であれば成り立つ。
x(2k^2-2)+y(k^2-2)<=0
これは、x,y の恒等式なので...
2k^2-2<=0
k^2-2<=0
-1<=k<=1
-√2<=k<=√2
つまり...
-1<=k<=1 なら成り立つ。
k の最小値は -1
でいいのかな...?

やどかりさんのご指摘通り...k>0 でした...^^; Orz~

x+y+2√xy<=x+y+(x+y)=2(x+y)
つまり...k^2(2x+y)>=2(x+y) であれば成り立つ。
x(2k^2-2)+y(k^2-2)>=0
を満たすには...2k^2-2>=0 かつ k^2-2>=0 であればいい...
k>0 から...
k>=1 かつ k>=√2 より...
k>=√2
つまり...
k の最小値は...√2
今度はいいかな...?

これも間違ってました...^^; Orz...
下のコメ欄(windさん、再出発さん、友人Uさんの解法)参照願います~^^v
すべての情報を使ってないわたしの方法じゃ駄目なんだ...^^;;;

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コメント

No title

スモークマン
>友人Uさんへ ^^
理屈ではたしかに...そうですね...Orz~v
安易に考えてました...^^;

No title

uch*n*an
(1) グラフが t 軸と接してもいいが交わらない場合
下に凸で,接するか交わらない,
k^2 - 1 > 0 and ((k^2 - 1)(2k^2 - 1) - 1)/(k^2 - 1) >= 0
(2) グラフが t 軸と交わる場合
このときは,下に凸で,交わって,
すべての交点の t 座標が負又は 0 でなければならないので,対称軸が負にある必要があり,
k^2 - 1 > 0 and 1/(k^2 - 1) < 0 and f(0) = 2k^2 - 1 >= 0
and ((k^2 - 1)(2k^2 - 1) - 1)/(k^2 - 1) < 0
しかし,明らかに,最初の二つの式は相容れないので,これはありえません。
そこで,(1)だけになって,昨夜書いたもの,ご指摘の通り,判別式で書きました,
が必要十分条件になります。
文字制限があるので端折ってしまいましたが,答案としては,(2)の吟味は必須です。

No title

uch*n*an
念のために,ちょっと補足しておくと...
u = f(t) = (k^2 - 1)t^2 - 2t + (2k^2 - 1) >= 0
として,t,u 座標系のグラフで,t がすべての正の実数で成り立つ条件を考えます。
k^2 - 1 = 0 の場合は,u = f(t) = - 2t + 1 となって,不可。
k^2 - 1 not= 0 の場合は,
u = f(t) = (k^2 - 1) * (t - 1/(k^2 - 1))^2 + ((k^2 - 1)(2k^2 - 1) - 1)/(k^2 - 1)
と二次関数になりますが,不等式を満たすのは,

No title

スモークマン
>友人Uさんへ ^^
了解できました♪...
判別式=1 - (k^2 - 1)(2k^2 - 1) <= 0
m=k^2 とすると...
1-(m-1)(2m-1)<=0
2m^2-3m=m(2m-3)>=0
m は正なので...m>=3/2
k>0 なので...
k>=√(3/2)
ってわけですね...Orz~v

No title

uch*n*an
確かに,コーシーシュワルツの不等式が簡単ですが,
気付かなければ,少々面倒ですが,こんな解法も。
x, y は正の実数なので,
√x + √y <= k√(2x + y)
1 + √(y/x) <= k√(2 + y/x)
√(y/x) = t とおくと,
1 + t <= k√(2 + t^2)
明らかに,k > 0 です。この条件の下で,二乗して整理して,
(k^2 - 1)t^2 - 2t + (2k^2 - 1) >= 0
左辺のグラフを考えて,t がすべての正の実数で成り立つ条件を求めると,
k^2 - 1 > 0 and 1 - (k^2 - 1)(2k^2 - 1) <= 0
k > 0 だったことに注意すると,k >= √(3/2) になります。

No title

スモークマン
>windさんへ ^^
気付けませんですみませんでした...^^;Orz~
たしかに...
(3/2)(2x+y)≧(√x+√y)^2
から...一発でしたね♪
ありがとうございました~m(_ _)m~v
わたしのやり方は...情報をすべて使ってないってわけなんだ...^^;...

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スモークマン
>再出発さん、いらっしゃいませ~ ^^
これまた巧い解法ですね♪
ありがとうございました Orz~v
(√(3/2))^2=3/2 < (√2)^2=2 ですね...^^;

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wind156
すみません…
コーシシュワルツの不等式の不等号は逆です。

No title

再出発
初めまして。
再出発です。

こんな感じでは・・・

変形して
(√x+√y)/√(2x+y)≦k ・・・①
ここで
√(2x)=rcosθ、√y=rsinθ
とおくと、①の左辺は
sinθ+cosθ/√2=√(3/2)・sin(θ+α)
≦√(3/2)
(ただし、tanα=1/√2)
等号成立はθ+α=π/2 のとき。
したがって、kの最小値は√(3/2)・・・(答)

No title

スモークマン
>windさんへ ^^
巧い変形ですね♪
3(2x+y)≦(√x+√y)^2 になるわけですね...
ただ...問題では...不等号が逆になってますよね...?

No title

wind156
(a^2+b^2)(p^2+q^2)≦(ap+bq)^2
は全ての実数a,b,p,qについて成立するので
a=1/√2,b=1,p=√(2x),q=√yとしても成立します。
等号成立はp/a=q/bのとき。

もうひとつの解法としては同次式ですから
k≧(√x+√y)/√(2x+y)として、y/x=t(t>0)として1変数に帰着できるので
右辺の式をf(t)とおいて微分して増減を調べればいいと思います。

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スモークマン
>windさんへ ^^
与式は...<= と不等号だから...
(x+y)^2+8x^2>=0 は...常に成立してるけど...
=のときはたしかにないですね...^^;
>= が、> or = なら...論理式的には真と考えていいのかなあ...?

No title

wind156
k=√2のとき等号を成り立たせるような正の実数x,yが存在しないように思えるのですが。

√x+√y=√2√(2x+y)を解くと
y^2+2xy+9x^2=0
(y+x)^2+8x^2=0となり
y+x=0かつx=0となるような気がします。

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スモークマン
>wind156さんへ ^^
そうですね...もっとスマートな方法ありそうね♪
わたしは途中で...それ・・・相加相乗を使いましたが...^^;v

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wind156
コーシーシュワルツの不等式が使えそうな式の形してますね。

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スモークマン
>やどかりさんへ ^^
そっか...^^;
考え直します...Orz...

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ヤドカリ
k=-1 のとき、√x+√y<=-√(2x+y) はすべての正の実数x,yに対して成り立ちませんね。
当然 k>0 です。
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