3135:赤玉の確率 999/2000以上

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問題3135・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/4224790.html より Orz~

赤球・青球が4個ずつあり、そのうち赤球1個と青球3個を袋に入れてあります。
「袋から無作為に1球を取り出し、取り出した球と異なる色の球を1個袋に入れる」
ことを繰り返します。
このとき、赤球を取り出す確率が、初めて 999/2000 以上になるのは何回目?


























































解答

上記サイトより Orz~

 n回目に取り出す直前に袋の中の赤球の個数の期待値を a(n) とすると、
 a(1)=1 で、
 n回目に赤球を取り出す確率は a(n)/4、青球を取り出す確率は 1-a(n)/4
 になりますので、
 a(n+1)=a(n)+(1-a(n)/4)-a(n)/4・・・*a(n)-a(n)/4+(1-a(n)/4)ってことなのね ^^
 漸化式 a(n+1)=a(n)/2+1 を得ます。
 a(n+1)-2=(a(n)-2)/2 となりますので、
 数列 {a(n)-2} は、公比 1/2 の等比数列になります。
 従って、a(n)-2=(a(1)-2)/2^(n-1)=-1/2^(n-1)、
 a(n)=2-1/2^(n-1)、確率は、a(n)/4=1/2-1/2^(n+1)。
 1/2-1/2^(n+1)>999/2000、1/2^(n+1)<1/2000、2^(n+1)>2000、
 n+1≧11、n≧10。 従って、10回目。


なんとかついていけました ^^;v
こういうのいつもダルマ...七転び八起き...ず...^^;

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