2797:周の長さと面積が等しい三角形(辺は整数)

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問題2797(友人問)

辺の長さが整数である任意の三角形において、周の長さと面積の値が等しいものをすべて求めよ。
































































解答

・わたしの

a,b,c:整数
(a+b+c)/2=s
三角形の面積:S
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)=(a+b+c)=2s
内接円の半径:r
(a+b+c)*r=2(a+b+c)
r=2
a=x+y
b=y+z
c=x+z
S=2(x+y+z)=√(x+y+z)xyz
4(x+y+z)^2=(x+y+z)xyz
4(x+y+z)=xyz
1/xy+1/yz+1/zx=1/4
x<=y<=z
3/x^2>=1/4>=3/z^2
z^2>=12>=x^2
x=1,2,3

x=1 のとき、
1/y+1/yz+1/z=1/4
2/y+1/y^2>=1/4
8y+8>=y^2
y^2-8y-8<=0
(y-4)^2-24<=0 で、y=4,5,6,7,8
4(x+y+z)=xyz から、(x,y,z)=(1,5,24),(1,6,14),(1,8,9)


x=2 のとき、
1/2y+1/yz+1/2z=1/4
1/y+1/y^2>=1/4
4y+4>=y^2
y^2-4y-4<=0
(y-2)^2-8<=0 で、y=2,3,4
4(x+y+z)=xyz から、(x,y,z)=(2,3,10),(2.4.6)

x=3 のとき、
1/3y+1/yz+1/3z=1/4
2/3y+1/y^2>=1/4
8y+12>=3y^2
3y^2-8y-12<=0
(3y-4)^2-52<=0 で、y=1,2,3
4(x+y+z)=xyz から、(x,y,z)=(3,2,10)

以上より、、、
(x,y,z)=(1,5,24),(1,6,14),(1,8,9),(2,3,10),(2.4.6)
つまり、
(a,b,c)=(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17),(5,12,13),(6,8,10)
の5種類・・・でいいのかな...^^;?

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コメント

No title

スモークマン
>友人Uさんへ♪
なるほど~~~!!
わかりやすい ^^v & ありがとうございました m(_ _)mv~

No title

uchinyan
「一つの三角形で,周の長さと面積が一致するもの」と思うと...
x = (a - b + c)/2, y = (a + b - c)/2, z = (- a + b + c)/2
なので,
a, b, c が三角形をなす条件も加味して,
a, b, c がすべて偶数 又は 一つが偶数で二つが奇数 -> x, y, z は自然数
a, b, c がすべて奇数 又は 一つが奇数で二つが偶数 -> x, y, z は 奇数/2
となります。そこで,
x = x'/2, y = y'/2, z = z'/2, ただし,x', y', z' はすべて偶数かすべて奇数
として考えればいいです。ところが,
4(x + y + z) = xyz
16(x' + y' + z') = x'y'z'
なので,x', y', z' がすべて奇数はありえません。
そこで,x, y, z を自然数に限っていいことになります。

No title

スモークマン
>友人Uさんへ ^^;
ほんとだ...そそっかしくてすみません Orz~
国語的に勝手読みしてしまう性癖のわたしです...^^;;
教えていただきたいのですが...x,y,z が自然数だけのときを考えればよいってすぐ言えますでしょうかしら・・・?
分母の最小公倍数をかけたら...いろんな場合がありえそうな...

No title

uchinyan
えと,上記のサイトの問題は,
「二つの異なる三角形で,周の長さと面積が一致するもの」
ですから,今の問題とは違うと思います。今の問題は,
「一つの三角形で,周の長さと面積が一致するもの」
でしょう? 違うのかな...?

No title

スモークマン

http://marine.sci.hyogo-u.ac.jp/~hammer/diary/0502.html より Orz~
「・・・私が見つけた中で一番「小さい」のは ・・・
ということは 3辺の長さが(4、11、11)の三角形と(7、7、12)の三角形は周の長さと面積が等しいことになります。もっと「小さい」組はあるでしょうか?」
ってのを見つけた...やっぱり分数のものありうるんだろか...^^;

No title

スモークマン
>友人Uさんへ ^^
なるほど...言われてみれば...^^; Orz~
たとえば...x=1/2,y=3/2,z=5/2 なんてときでも...a=2,b=3,c=4 と整数になっちゃうぞっていうことですね...^^;
となると...少々自信なくなってきたり...
外にもありうるかも知れませんね...?
自然数にかぎっていいことの証明がすぐわからない...Orz...

No title

uch*n*an
いいとは思うのですが...
論理的には,x, y, z を自然数に限っていいことを確認しておく必要があると思います。
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