2504:整数

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問題2504(友人問)

相違なる自然数a,b,c (a<b<c)があり、どの2数の和も残りの数で割ると1余る。
a,b,cを求めよ。































































解答

・わたしの

a+b-1=sc
b+c-1=ta
c+a-1=ub

a(2-t)+b(2-u)+c(2-s)=3
つまり、あるとすれば、t=3,u=2,s=1 のとき。
-a+c=3
c=3+a
2a+2=2b
b=a+1
2a+3=3a
a=3,b=4,c=6
これは、題意を満たす。

まだあるよう・・・^^;

t>u>s なので、
s>2 の場合、左辺は負になる。
s=1 or 2
s=1 の場合、
a+b-1=c
b+c-1=2b+a-2=ta・・・2(b-1)=a(t-1) から、
a=2 か、t=2 かつ、a=2(b-1) か、t=3 かつ、a=b-1
・a=2 のとき、t=1
b+c-1=2・・・c=3-b・・・これは満たさず。
・t=2,a=2(b-1) のとき、
b+c-1=4(b-1)・・・c=3b-3
つまり、2b-2,b,3b-3
(5b-6)/b=5-6/b
b=2,3,6 すべて満たさず。
・t=3,a=b-1 のとき、
b+c-1=3(b-1)・・・c=2b-2
つまり、b-1,b,2b-2
(3b-4)/b=3-4/b
b=2.4
(a,b,c)=(3,4,6)
・a=1,t=2b-1 の場合
b+c-1=2b-1・・・c=b は駄目。

s=2 の場合、
a+b-1=2c
2b+2c-2=3b+a-3=2ta・・・3(b-1)=a(2t-1) なので、
a=3 か、t=1 かつ、a=3(b-1) か、t=2 かつ、a=b-1
・a=3 の場合、b=2t
b+c-1=2t+c-1=3t・・・c=t+1<=2t=b で駄目。
・t=1,a=3(b-1) の場合
b+c-1=3(b-1)・・・c=2b-2
つまり、3b-3,b,2b-2・・・a>c で駄目。
・t=2,a=b-1 の場合
b+c-1=2(b-1)・・・c=b-1=a で駄目。
・a=1,t=(3b-2)/2 の場合
b+c-1=(3b-2)/2・・・2c=b で満たさず。

計算間違いなければ、、、やはりないけど・・・?

・友人から(2009.04.06)

途中のどこか計算間違ってるらしいとのこと...^^;
答え (3,4,6) (6,10,15) です

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