2503':ドモアブルの定理 解答

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問題2503の解答 ^^v

・新俳人澄朝さんのもの(画像)Orz~

・uchinyanさんのもの Orz~

cos(x) + i * sin(x) = (cos(x/n) + i * sin(x/n))^n
において,問題4:の (3) 及び (4) より,
cos(x/n) = ?[k=0,∞]{(-1)^k/(2k)! * (x/n)^(2k)}
sin(x/n) = ?[k=0,∞]{(-1)^k/(2k+1)! * (x/n)^(2k+1)}
ここで,n -> ∞ のとき f(n) 程度に振る舞う式を O(f(n)) と書くことにします。すると,
cos(x/n) = 1 + O(1/n^2)
sin(x/n) = x/n + O(1/n^3)
と書けます。そこで,
(cos(x/n) + i * sin(x/n))^n
= ((1 + O(1/n^2)) + i * (x/n + O(1/n^3)))^n
= ((1 + i * x/n) + O(1/n^2)))^n
= (1 + ix/n)^n * ((1 + O(1/n^2)/(1 + ix/n))^n
= (1 + ix/n)^n * ((1 + O(1/n^2)*(1 + O(1/n)))^n
= (1 + ix/n)^n * (1 + O(1/n^2))^n
ここで,lim[n->∞](1 + 1/n)^n = e なので,
lim[n->∞](1 + ix/n)^n
= lim[N->∞]((1 + 1/N)^N)^(ix) <----- 1/N = ix/n とおいた
= e^(ix)
また,
(1 + O(1/n^2))^n
= 1 + ?[k=1,n]{nCk * (O(1/n^2))^k}
ここで,nCk, k >= 1 は最大でも O(n^k) なので,n が十分大きいとき,せいぜい,
= 1 + ?[k=1,∞]{O(n^k) * O(1/n^(2k))} 
= 1 + ?[k=1,∞]{O(1/n^k)}
(k が大きいところでは,実際にはもっと速く 0 に近づきます。)
= 1 + O(1/n)
つまり,
lim[n->∞]{(1 + O(1/n^2))^n} = lim[n->∞]{1 + O(1/n)} = 1
そこで,
lim[n->∞]{(cos(x/n) + i * sin(x/n))^n}
= lim[n->∞]{(1 + ix/n)^n * (1 + O(1/n^2))^n}
= e^(ix) * 1
= e^(ix)
これより,
cos(x) + i * sin(x) = e^(ix)
がいえました。

(考察)
θ = x/n とおいたドモアブルの定理
(cosθ + i * sinθ)^n = cos(nθ) + i * sin(nθ)
は,n に関する数学的帰納法で証明できます。
* n = 1 の場合 明らか
* n = k で成立しているとします。
(cosθ + i * sinθ)^k = cos(kθ) + i * sin(kθ)
n = k + 1 の場合
(cosθ + i * sinθ)^(k+1)
= (cosθ + i * sinθ)^k * (cosθ + i * sinθ)
帰納法の仮定より
= (cos(kθ) + i * sin(kθ)) * (cosθ + i * sinθ)
= (cos(kθ)cosθ - sin(kθ)sinθ) + i * (sin(kθ)cosθ + cos(kθ)sinθ)
三角関数の加法定理より
= cos((k+1)θ) + i * sin((k+1)θ)
これで,n = k + 1 の場合も証明できました。

・三角定規さんのコメ Orz~

オイラーの公式には長いことお世話になって来ましたが,オイラーがそれをド・モアブルの公式の極限(cos(θ/n)+isin(θ/n))^n → (1+(iθ/n)^n → e^(iθ)
から発想していたということは,今回はじめて知りました。天才の心眼は冴えていたのですね。

たしかに鋭いんだろけど...
e の定義から忘れてるわたしみたくでなければ,,,案外気付きそうな気もするけど...
でも、、、想像力逞しい・・・思考の飛躍/飛翔・発想の転換/超越♪

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スモークマン

水の流れさんのサイト http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html より Orz~
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