2-1857:区別のつかない6m個のボールを区別のつかない3個の箱に入れる入れかた。ボールのない箱も認める。...基本なんだけど ^^;

モナリザ20209270

モナリザ20209271

*ハロウィンヴァージョンのモナリザ ^^

問題 2-1857・・・https://twitter.com/kaku_ritu_bot/status/1310103035578691584
より 引用 Orz〜

nを正整数としn個の玉を3つの箱に分ける。玉のない箱も認める。 (1) 1からnまで異なる番号のついたn個の玉を区別のつかない3箱に入れるとき入れ方の総数 (2) nが6の倍数6mであるときn個の互いに区別のつかない玉を区別のつかない3箱に入れるとき入れ方の総数 (96東大後略☆7)















































解答

・わたしの...

難しぃ...^^;

(1)
1箱に入れる・・・1通り
2箱に入れる・・・(2^n-2)/2!=2^(n-1)-1
3箱に入れる・・・3^nから1箱に入っていない3*(2^n-2)を引いて、3!で割る...
so...(3^n-3*(2^n-2))/3!=(3^n-3*2^n)/3!+1
合計=(3^n+3*2^n)/6+1通り


(2)
1箱・・・1通り
2箱・・・1-(6m-1),2-(6m-2),...,3m-3m・・・3m通り
3箱・・・(3H(6m-3)-1-3*(2m-2)/2)3!+1+(2m-2)/2

?

ややこし過ぎたわ ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) まず3箱を区別して考えるのがよいでしょう.
その場合の入れ方は,当然3^n通りです.

・3^n通りのうち,すべて1箱にいれる3通りは,
箱の区別がないなら1通りと数えることになり,
・それ以外の3^n-3通りは,
箱の区別がないなら,1つの入れ方を6回重複して数えたことになります.

結局,求める数は,1+(3^n-3)/6=(3^n+3)/6(通り)です.

スモークマンさんの考えだと,「3箱に入れる」の場合が誤りで,
3^nから除くべきは,2箱に入る3*(2^n-2)通りと1箱に入る3通りであり,
合計は,
1+(2^(n-1)-1)+(3^n-3*(2^n-2)-3)/3!
=2^(n-1)+(3^n)/6-(2^n-2)/2-1/2
=(3^n)/6+1/2(通り)となります.

(2) a+b+c=6m,a≦b≦cを満たす負でない整数a,b,cの組の個数を求めることになります.

・・・なるほど!!

aを定めるとき,a≦b≦6m-(a+b),つまりa≦b≦3m-a/2であり,
奇数aに対してb=a,a+1,…,3m-(a+1)/2で3m-(3a-1)/2通り,
偶数aに対してb=a,a+1,…,3m-a/2で3m-3a/2+1通り
あり,a=0,1,2,…,2mだから,
場合の数は,Σ[k=1..m](3m-(3(2k-1)-1)/2)+Σ[k=0..m](3m-3(2k)/2+1)
=m(3m+2)-3m(m+1)/2+(m+1)(3m+1)-3m(m+1)/2
=(3m^2+2m)+(3m^2+4m+1)-(3m^2+3m)=3m^2+3m+1.


*いずれも...熟読玩味ぃ〜^^;;v
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
うひぃ〜...ややこしかぁ ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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