2-1854:正20角形の3頂点でできる辺を含まない△の個数...基本 ^^

画像:https://hon-hikidashi.jp/live/88947/ より 引用 Orz〜
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スパイスカレー、つまりスパイスから作ったカレーです。いわゆる日本のカレーは、もともとイギリスのC&B社のカレー粉と小麦粉とを油で炒めたものをのばして作っていました。のちにS&B(の前身となる会社)が国産のカレー粉を発売し、さらにはカレー粉と小麦粉、油脂分、うま味調味料などが合わさったカレールーが市販されるようになり、現在ではカレールーを溶かしてカレーを作るのが日本のカレーの一般的な作り方になっています。それに対して、スパイスカレーは、カレールーはもちろん、カレー粉も使いません。自分でそれぞれのスパイスを合わせて炒めて作っていきます。カレー粉は、誰でも簡単に使えるように20~30種類ものスパイスをあらかじめミックスしたものですが、スパイスカレーの本場、インドには“カレー粉はない”というのは有名な話です。

*ひょっとしてスパイスカレーなるもの... 食べたことないかも...^^;...?

問題 2-1854・・・https://twitter.com/kaku_ritu_bot/status/1309906736904503296
より 引用 Orz〜

(1) 正20角形Pの対角線は何本引けるか? (2) 正20角形Pの頂点から3つを選びこれらを頂点とする三角形を作るときPと辺を共有しない三角形はいくつあるか? ただし、合同な三角形は区別せずに1つと考える。 (弘前☆4)












































解答

・わたしの...

(1)
20C2-20=190-20=170本

(2)
20C3-20*18=1140-360=780個

もっと違うアプローチってあるのかなぁ?

(2) バグってます ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)は正しいですが,もちろん違うアプローチはあります.例えば,以下のように.

ある頂点から出る対角線は,自分自身と両隣を除く17頂点に向かう17本.
1つの対角線を両側から2回数えたので,求める数は,
20*17/2=170(本).

(2)は誤りです.
・20C3から引いている「20*18」は,
「辺が20通り,残り1頂点が18通り」としているように見えますが,
これだと,2辺をPと共有する三角形を二重に引いていることになります.
・「合同な三角形を区別しない」という設定が考慮されていないと思います.

正20角形の外接円の中心をOとして,できる三角形を△ABCとするとき,
Aを含まない弧BC,Bを含まない弧CA,Cを含まない弧ABに対応する中心角を
順に18°のa倍,18°のb倍,18°のc倍であるとして,
a+b+c=20,a≦b≦cを満たす自然数a,b,cを考えるのがお勧めです.


後半の考え方がよくわからないので ^^;
自分流に再考...

(2)
20C3-20*(20-4)-20=1140-340=800個

でしたか...

問題よく読むあるね ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

再考された(2)は,引き方を修正されたようですが,
「合同な三角形を区別しない」問題に対しては,このアプローチでは厳しいと思います.
例えば,20頂点を順にA1,A2,A3,…,A20として,
三角形A1A3A7と三角形A3A5A9,三角形A7A5A1はすべて合同であり,
(もちろん合同な三角形はほかにもたくさんあり,それらも含めて)
1つと数えることになりますが,
「20C3」という数え方は,もともとそのことが考慮されていません.
Pと辺を共有する場合の数を引いても,正しい場合の数は得られませんね.

前のコメントで「お勧め」とした方法は,次のようになります.

Pの中心をOとして,例えば三角形A1A3A7(およびそれと合同な三角形)について,
A1A3については,∠A1OA3は,2/20周,つまり36°,
A3A7については,∠A3OA7は,4/20周,つまり72°,
A7A1については,∠A7OA1は,(A3を経由しない回り方で,)14/20周,つまり252°
となって,1周を20等分したとき,それを2個,4個,14個に分けたことになります.

このように,合同な三角形を同一視すると,三角形の作り方は,
a+b+c=20,a≦b≦cを満たす自然数の組(a,b,c)と対応します.

・・・こうする意味がわかりましたわ ^^;v

このうち,Pと辺を共有するのはa=1の場合であり,
求める場合の数は,a+b+c=20,2≦a≦b≦cを満たす(a,b,c)の個数となって,
a'=a-2,b'=b-2,c'=c-2として,
「a'+b'+c'=14,a'≦b'≦c',a',b',c'は負でない整数」
となって,
a'=0で,b'=0,1,2,…,7の8通り,
a'=1で,b'=1,2,3,…,6の6通り,
a'=2で,b'=2,3,4,5,6の5通り,
a'=3で,b'=3,4,5の3通り,
a'=4で,b'=4,5の2通り.
a'≧5では適する場合なし.
結論は,8+6+5+3+2=24(通り)です.

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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
リプライ遅くなりました ^^;
そっか.o..合同なものはカウントしない条件を考えてませんでしたわ ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
そっかぁ ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
再考したものをアップしておきます... Orz〜

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