2-1841:証明...不等式...

遊びは常に新鮮2020924

*世界が違って見えてるかい ^^

問題 2-1841・・・https://blog.goo.ne.jp/0424725533/c/e5b5c42c4b9d2f14213723fe06884efc/1
より 引用 Orz〜

a、b、cは1未満の正の実数で、かつ、 a+b+c=2を満たす。このとき、



が成り立つことを示せ。














































解答

・わたしの...

1-a,1-b,1-cはいずれも正
1/a-1,1/b-1,1/c-1はいずれも正
so...
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)<=1/8 を示せばいい...
相加相乗平均より...
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)<=(1/a-1+1/b-1+1/c-1)^3/3^3
等号はa=b=c=2/3 のとき...
so...
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)<=(1/a-1+1/b-1+1/c-1)^3/3^3=(3/2)^3/3^3=1/8

でいいですね ^^

これではダメのようです ^^; 
(コメ欄参照 Orz...)

・鍵コメT様からのもの Orz〜

いろいろと方法はありそうですが,私は以下のようにしました.

1-a,1-b,1-cを順にA,B,Cとして,A>0,B>0,C>0であり,
a=1-A,b=1-B,c=1-C.また,(1-A)+(1-B)+(1-C)=2より,A+B+C=1.

a/(1-a)*b/(1-b)*c/(1-c)
=(1-A)/A*(1-B)/B*(1-C)/C
=(B+C)/A*(C+A)/B*(A+B)/C
=(B+C)(C+A)(A+B)/(ABC)
=((B+C)A^2+A(B+C)^2+BC(B+C))/(ABC)
=A/B+A/C+(B+C)(1/C+1/B)+B/A+C/A
=(A/B+B/A)+(B/C+C/B)+(C/A+A/C)+2≧8.


*これは...beyond me...^^;;
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
これは気づけませんばい ^^;
紹介させていただきまっす〜(_ _)〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 「(1/a-1)^3=(3/2-1)^3」が誤りです.
> a≦2/3より,1/a≧3/2であり,
> (1/a-1)^3≧(1/2)^3=1/8ですが,
> これと(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≦(1/a-1)^3とからは
> (1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)と1/8の大小関係は不明です.

そっか ^^;;
今んとこ気づけましぇん...

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> (1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≦((1/a-1+1/b-1+1/c-1)^3)/(3^3)の右辺は定数ではないので,
> 等号が成り立つときに左辺が最大である保証はありません.
> これでは証明になっていないと思います.

そうか ^^;
再考...
a<=b<=c と考えてもいい。
a<=2/3
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)<=(1/a-1)^3=(3/2-1)^3=(1/2)^3=1/8
とすればよかったのね...^^

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