2-1612:証明...e+πとeπとのうち少なくとも一方は無理数である...

画像:https://hirocoffee.shop-pro.jp/?pid=133884663 より 引用 Orz〜
133884663_o1.jpg

問題 2-1612・・・https://twitter.com/solove_math/status/1290262108815335424 より 引用 Orz〜

超越数とは有理数係数方程式の解とならない数である。√2はx^2-2=0の解で超越数ではないが,円周率πやネイピア数eは超越数である。ところで,e+πやeπが無理数かは未解決問題である。しかし,この2つのうち少なくとも一方は無理数であることが分かっている。なぜか。




















































解答

デジャヴー ?

・わたしの...

両方とも有理数なら、
t^2-(e+π)t+e*π
=(t-e)(t-π)
=0
の根が両方とも有理数になってしまうが、これは矛盾ね ^^

これではダメでしたわ ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「e+π=A,eπ=Bとして,A,Bが両方とも有理数であるとすれば,
t^2-At+B=0の2根e,πは有理数係数の方程式の解から超越数とはならず,
eやπが超越数であることに反する」
であれば正しい解答だと思います.


*でしたわ ^^;v
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
でしたですね ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> e+π=A,eπ=Bとして,A,Bが両方とも有理数であるとしても,
> t^2-At+B=0の2根e,πは有理数とは限りません.
> (例) t^2-2t-1=0の2根は1±√2で,ともに無理数です.

なるほど!!
では、ともに有理数か、無理数にしかなれないけれど、e,πは超越数に反するから。
と言えばよかったのかいなぁ...^^

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