2-1610:(a^2*b+2)/(a*b^2+2) が整数となる正の整数(a,b)は?

画像:https://news.mynavi.jp/article/20120706-icecoffee/ より 引用 Orz〜
004.jpg

問題 2-1610・・・https://twitter.com/seisu_bot/status/1290197149024583680 
より 引用 Orz〜

(a²b+2)/(ab²+2)が整数となる正の整数の組(a,b)を全て求めよ(激易)
















































解答

・わたしの...

明らかに、a^2*b=a*b^2 でないと分数になる...
so...
ab(a-b)=0
つまり...
a=bなる正の整数 ^^

考察が薄い ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「((a^2)*b+2)/(a*(b^2)+2)が整数」は,a=bのときは当然に成立する.
以下,a≠bのときを考える.
((a^2)*b+2)/(a*(b^2)+2)のb倍である((a^2)(b^2)+2b)/(a*(b^2)+2),
すなわちa+2(b-a)/(a*(b^2)+2)も整数であり,
2(b-a)/(a*(b^2)+2)は0でない整数だから,2|b-a|≧a*(b^2)+2が成り立つ.

a>bのとき.
2a-2b≧(b^2)a+2より,2a>(b^2)aとなって,b=1に限る.
はじめの式に戻って,(a^2+2)/(a+2)=(a-2)+6/(a+2)が整数だから,
a+2は6の約数であり,a+2>b+2=3だから,a+2=6,a=4を得る.

b>aのとき.
2b-2a≧a(b^2)+2より,2b>(ab)bとなって,ab=1に限ることになり不適.

以上より,a≠bで条件を満たすものは(a,b)=(4,1)に限るから,
求める解は,(a,b)=(4,1)または(k,k). (kは任意の正の整数)


*巧みな工夫...無理 ^^;
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
なるほど...but...気づけないわ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 「(a^2)*b=a*(b^2)でないと整数にならない」は不成立です.
> ((4^2)*1+2)/(4*(1^2)+2)=18/6=3ですね.

あれま ^^;
再考しまっす Orz〜

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