2-1609:証明...正の整数 a,b,c. a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+bの全てが平方数になることはない...

一輪のバラ20207

わたし好みの一輪のバラ♪

問題 2-1609・・・https://twitter.com/seisu_bot/status/1290151456964620288 
より 引用 Orz〜

a,b,cを正の整数とするとき、a²+b+c,b²+c+a,c²+a+b
のすべてが平方数になることはないことを示せ。
(2011年APMO1、3分問題)









































解答

・わたしの...

a^2+b+c=m^2
c^2+a+b=n^2
とすると...

a^2+b+c-(c^2+a+b)
=(a-c)(a+b-1)
=(m-n)(m+n)

m-nと m+nとのパリティは同じなのに、
a-cとa+b-1とのパリティは異なるので、最初の仮定は誤り...
背理法で、全てが平方数ではないことが言えた ^^

嘘でした ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

言えていないと思います.
(a-c)(a+c-1)=(m-n)(m+n)の左辺は偶数であり,
パリティが一致するm±nは偶数となりますが,そこからどう矛盾を導きますか?


*既出問でした...咀嚼が足りない...^^;
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 言えていないと思います.
> (a-c)(a+c-1)=(m-n)(m+n)の左辺は偶数であり,
> パリティが一致するm±nは偶数となりますが,そこからどう矛盾を導きますか?

そっか ^^;
左辺と右辺との因数2の個数が違うとも言えないし...^^;;
やはりダメですね Orz...

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 問題2-1029です.

またもや既出問(https://kennji72019.blog.fc2.com/blog-entry-26576.html)でしたか...^^;

わたしのは...
以下の間違いでした...
a^2+b+c-(c^2+a+b)
=(a-c)(a+c-1)
=(m-n)(m+n)

このようにしても言えてますよね?

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> まず,(a^2+b+c)-(c^2+a+b)=(a-c)(a+c-1)であり,
> 以下,「a+b-1」とあるのは「a+c-1」のはずです,
>
> その意味だとして,
> 確かにa-cとa+c-1はパリティが異なり,m-nとm+nのパリティは同じですが,
> これは別に矛盾ではありません.
>
> (例) 6*10=3*20で,6と10はパリティが同じ,3と20はパリティが異なりますが,
> 等式は成り立っています.
>
> 本問では,a,b,cの最大のものに着目するのがよいと思います.
> というか,同じヒントを出したことがあったはずです.

あれ...^^;
既出問でしたかしらん ^^;;
考えてみまっす Orz〜

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