2-1608:証明...1辺の長さ1の正三角形ABC内部の点O. OA'+OB'+OC'<=1...

Vitaフェチ20207

これフェチあるね♪

問題 2-1608(友人問)

1辺の長さが1の正3角形ABCの内部に点Oをとる。

直線AOと辺BCの交点をA’、直線BOと辺CAの交点をB’、直線COと辺ABの交点をC’とする。

このとき、OA’+OB’+0C’<=1が成り立つことを示せ。












































解答


・わたしの...


辺も内部と考えれば...


OA'+OB'+OC'<=(OA'+OB')+(OA'+OC')<=A'B'+A'C'=1・・・A'が辺上のとき


みたいなことでいいのかいなぁ ^^


芽茶でした ^^; Orz...


・鍵コメ T様からのもの Orz〜


意味がわかりません.

「A'が辺上のとき」とありますが,A'は定義から必ず辺BC上にありますし,
A'B'+A'C'≦1は不成立です.
(Oが辺BC上の場合ならばB'はCに,C'はBに一致してA'B'+A'C'=1ですが...)

また,(OA'+OB')+(OA'+OC')≧A'B'+A'C'です.(不等号の向きが逆です.)



△OBC:△OCA:△OAB=p:q:rとする.
AO:OA'=(△OAB+△OAC):(△OA'B+△OA'C)=(△OAB+△OAC):△OBC=(q+r):p
だから,OA'=(p/(p+q+r))AA'.
同様に,OB'=(q/(p+q+r))BB',OC'=(r/(p+q+r))CC'であり,
OA'+OB'+OC'=(p/(p+q+r))AA'+(q/(p+q+r))BB'+(r/(p+q+r))CC'.
AA'≦1,BB'≦1,CC'≦1だから,
OA'+OB'+OC'≦p/(p+q+r)+q/(p+q+r)+r/(p+q+r)=1.


*Aha!! 美し♪



関連記事
スポンサーサイト



コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
これは見事ですねぇ☆
考えてたけど気づないままでした ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

管理人のみ閲覧できます

-
このコメントは管理人のみ閲覧できます

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 意味がわかりません.
>
> 「A'が辺上のとき」とありますが,A'は定義から必ず辺BC上にありますし,
> A'B'+A'C'≦1は不成立です.
> (Oが辺BC上の場合ならばB'はCに,C'はBに一致してA'B'+A'C'=1ですが...)
>
> また,(OA'+OB')+(OA'+OC')≧A'B'+A'C'です.(不等号の向きが逆です.)

そっか^^;; Orz...
under consideration...

管理人のみ閲覧できます

-
このコメントは管理人のみ閲覧できます
非公開コメント