2-1605:3次方程式の解が等差数列になっており、その一つが-3...

画像:https://www.kurasinositen.com/conbini-ice-coffee/ より 引用 Orz〜
DSC04432.png

*ローソンの店舗数が少ない気がするのは気のせいかしらん...?
バイパスに出なきゃ、アイスコーヒー飲めんじゃん...^^;;

問題 2-1605・・・出会いの泉掲示板より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs?
よおすけ様紹介問 Orz〜

方程式 x^3+ax^2+bx+15=0の3つの解を適当に並べると,等差数列になっているという。
1つの解が-3であるとして,可能なa,bの値をすべて求めよ。

(1976年 関西学院大学)










































解答

・わたしの...

(x+3)(x^2+kx+5)=x^3+(3+k)x^2+(5+3k)x+15
α*β=5
-3<α<β・・・-3β=α^2・・・(α*β)^2=-3β^3=25・・・β=-(25/3)^(1/3),α=-(15)^(1/3)
or
α<β<-3・・・αとβと入れ替わっただけなので、k=-(α+β)は同じで...
a=3+k=3+(25/3)^(1/3)+15^(1/3)
b=5+75^(1/3)+3*15^(1/3)

面倒ねぇ ^^;

支離滅裂...^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

表題は「3解が等比数列をなす」となっていて,
実際にそのつもりで解かれているようですが,
問題文は「3解が等差数列をなす」です.・・・直しておきました〜m(_ _);m〜v

(「3解が実数」と限定してよいかどうかも微妙であり,
すると,解の大小関係で分類する解法でよいかもきわどいような気がしますが,
高校数学で「等比数列」とか「等差数列」と言えば,
実数に限定するものなのかもしれません.)・・・なるほど...^^;

実数に限定しての「等比数列」の問題ならば,
「(等比数列の中央の項)^3が3解の積-15となることから,
中央の項は-15^(1/3)に確定する」ことを用いるのが得な解法だと思います.・・・確かに!!

ただ,出題意図はそこまで複雑ではない「等差数列」です.


*で...再考...^^;

-15=-3+α+β
so...k=-(α+β)=12
so...a=3+k=15, b=5+3k=41

でしたのね ^^;v

やらかしてます ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

-15は3解の積であり,「-15=-3+α+β」は不成立です.,
以下のようになります.

-3以外の残り2解をα,βとする.
解と係数の関係より,-3αβ=-15であり,αβ=5.

等差数列の中央の項が-3のとき,α+β=-6であり,{α,β}={-1,-5}.
x^3+ax^2+bx+15=(x+3)(x+1)(x+5)=x^3+9x^2+23x+15となって,
(a,b)=(9,23).

等差数列の中央の項が-3でないとき,中央の項をαとしてよく,
2α=-3+βだから,β=2α+3.
αβ=5に代入して,α(2α+3)=5となり,2α^2+3α-5=0,(α-1)(2α+5)=0となって,
α=1,-5/2.

α=1のとき,3解は-3,1,5であり,
x^3+ax^2+bx+15=(x+3)(x-1)(x-5)=x^3-3x^2-13x+15となって,
(a,b)=(-3,-13).

α=-5/2のとき,3解は-3,-5/2,-2であり,
x^3+ax^2+bx+15=(x+3)(x+5/2)(x+2)=x^3+(15/2)x^2+(37/2)x+15となって,
(a,b)=(15/2,37/2).

以上まとめて,
(a,b)=(9,23),(-3,-13),(15/2,37/2).

・らすかる様のもの Orz〜

-3以外の2解をα,βとすると、解と係数の関係からαβ=(-15)/(-3)=5
等差数列の公差が0のときαβ=9となり不適なので、α<βとしてよい。
α<β<-3のときαβ>9なので不適
α<-3<βのときα+β=-6なのでα=-5, β=-1
このときa=-(α+β+(-3))=9, b=αβ+(-3)(α+β)=23
-3<α<βのときβ-3=2αから(α,β)=(1,5),(-5/2,2)
(α,β)=(1,5)のときa=-(α+β+(-3))=-3, b=αβ+(-3)(α+β)=-13
(α,β)=(-5/2,-2)のときa=-(α+β+(-3))=15/2, b=αβ+(-3)(α+β)=37/2
従って可能なa,bの値は
(a,b)=(9,23),(-3,-13),(15/2,37/2)

*意外に面倒でしたか...^^;
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
あちゃ...^^;
もう何をやってるんやら...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 表題は「3解が等比数列をなす」となっていて,
> 実際にそのつもりで解かれているようですが,
> 問題文は「3解が等差数列をなす」です.

あらま...^^;
直しておきまっす〜m(_ _);m〜v

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