2-1541:2^nの最上桁が1である確率...

画像:https://www.walkerplus.com/trend/matome/article/81418/image459749.html より 引用 Orz〜
459749_615.jpg
ふわふわの氷に香り豊かなミツをたっぷりかけた「利休抹茶金時」(860円)/茶寮 つぼ市製茶本舗」2016年

問題 2-1541・・・http://sugaku-omoshiroi-mondai.hateblo.jp/entry/20150305/p1 
より 引用 Orz〜

nを自然数として,2のn乗の最上桁が1である確率は?





















































解答

デジャヴー のはずなのに...
ピンとこなかったわ...^^;

http://math.a.la9.jp/a2n21.htm より 引用 Orz〜

富山県 萩の葉 さんからの解答。

2nの十進法による表示の桁数が上がる毎に最上桁が1になる数が現れるので、確率としては

log2n
n
nlog2
n
=log2

で0.301029…

*なるほど!!
2^nの先頭が1の個数=桁上がりの回数
so...
(log 2^n)/n
ってわけあるのねぇ♪

一般にm^nのときの桁上がりの確率は...log m 
ですね ^^

・繰り上がりの数字が1になる場合の一般化を鍵コメT様からご指南いただきました Orz〜

元の問題では,書かれている解答方針もありますが,
他の方法として,2^nの常用対数の小数部分を考えるのも有力です.

常用対数log x=yとすると,x=10^yであり,
yの整数部分をNとすると,Nによりxの桁数が決まります.(N+1桁です.)
x/(10^N)=(10^y)/(10^N)=10^(y-N)なので,
最高位の数字は,10^(y-N)により決まります.
つまり,yの小数部分y-Nがlog2より小さいことが,xの最高位が1である条件です.
x=2^nであれば,y=log x=n*(log2)であり,log2が無理数であることから,
yの小数部分は,0<y<1に均等に分布し,
すると,その小数部分がlog2より小さい確率はlog2となります.

2^nに変えてm^nにした場合も,(もちろんmが1,10,100,…の場合は例外ですが,)
まったく同様に,x=m^nに対し,y=log x=n*(log m)であり,log mが無理数より,
yの小数部分は,0<y<1に均等に分布します.
よって,その小数部分がlog2より小さい確率はやはりlog2となります.

なお.log mが無理数であることは,次のように示されます.
log m=p/q (p,qは整数)と表されたとすると,
m=10^(p/q) より,m^q=10^p.
両辺の素因数分解を考えれば,これは,mが10の累乗である場合に限る.
よって,その場合(m=1,10,100,…)以外は,log m は無理数.


*わたしゃ...トレースできてないまま...熟読玩味ぃ〜^^;v
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
まだよくトレースできてないままですが...^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 「m^(n-1)にmをかけるときに,桁数が増える確率」ということであり,
> さらにmが10以下の自然数であるなら,確かに確率は常用対数log mですね.
> その意味でしたか.
> ただし,「m^nのとき」が最後の掛け算の意味とみなすのは
> 少し無理気味であるような気がします.

確かに、mは10以下でした ^^;v

>m^n (n=1,2,3,…)の最上位が1である確率の意味ならば,
結論は変わらず,(対数は常用対数として,)log2です.

こちらの方がよくわかりません ^^;;
よろしければ、解説プリーズ〜m(_ _)m〜v

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
繰り上がりの確率でしたらどうでしょう...^^;

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