2-1540:証明...199...991(9がn個)が1991の倍数になるものがある...^^;

画像:https://trico.jal.com/placegallery/report/12945/ より 引用 Orz〜
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問題 2-1540・・・https://twitter.com/handmade_math/status/1281684242750042112 
より 引用 Orz〜

2より大きな整数nであって,1991が199…991(9はn個)を割り切るようなものが存在することを示せ.(1991 ブラジル数学オリンピック)





































解答

筆算で...
1991*49271722752385735811150175791059768960321446509291813159216474133601205424409844299347061778001
=98099999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999991
まで...
試みるも根果てた ^^;   

・鍵コメT様からのもの Orz〜

199…991 (9はn個)が1991で割り切れることは,
199…991-1991=19…98000 (9はn-3個)が1991で割り切れること,
あるいは,2000で割って,99…9 (9はn-2個)が1991で割り切れることと同値です.
9,99,999,…,99…9(9は1991個)のうちに1991で割り切れるものがないとすると,
1991で割った余り(1~1990の1990種類)が等しい2数が含まれ,
その差(9…90…0の形式)が1991で割り切れることになり,矛盾が生じるので,
9,99,999,…,99…9(9は1991個)のうちに1991で割り切れるものは存在し,
題意は示されています.       

*なるほど!!
合点ですだ ^^♪                    
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
その方向で行けないかと思ったのですが...^^;
2000での余りを考えればよかったのか!!
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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