2-1358:49次方程式...の49個の解それぞれの47乗の和は?...

画像:https://www.tokyo-sports.co.jp/entame/gravia/1872903/attachment/塩地美澄のデジタル写真集より/ より 引用 Orz〜
美脚000
美脚...堪りましぇん ^^
わたしゃ...足フェチだったのかいなぁ...?...知らんがな!! ...Orz...

問題 2-1358・・・出会いの泉 よりhttps://6626.teacup.com/shochandas/bbs?  GAI様提示問 Orz〜

49次の方程式でa,b,cを実数定数とし
x^49+a*x^2+b*x+c=0
の49個の解を
a1,a2,a3,・・・,a49
とするとき
S=a1^47+a2^47+a3^47+・・・+a49^47
の値は何でしょう?



















解答

・DD++様からのもの Orz〜

係数にaを使って解もaだと紛らわしいので、解はX[1]からX[49]とします。

c≠0を仮定します。

x^49+a*x^2+b*x+c=0 の解が X[1], X[2], ……, X[49] なので、
1+a*x^47+b*x^48+c*x^49=0 の解が 1/X[1], 1/X[2], ……, 1/X[49] となります。
よって、解と係数の関係と少しの変形から、Σ1/X[k]=-b/c, Σ1/X[k]^2=b^2/c^2-2a/c となります。

よって、
ΣX[k]^47
= Σ(-a-b/X[k]-c/X[k]^2)
= -49a+b^2/c-b^2/c+2a
= -47a

c=0 の場合も同様に示せると思いますが、lim[c->0] で考えちゃった方が速そう。


*c≠0の場合はなるほど ^^♪
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