2-1345:0より大きく1より小さい既約分数で、分母と分子との積が20!となるようなものは何個?...

画像:https://pxhere.com/ja/photo/1026783 より 引用 Orz〜
モーニング0110

問題 2-1345(友人問)

0より大きく1より小さい有理数であって既約分数で書いたとき

分母と分子の積が20!となるようなものはいくつあるか。








































解答


デジャヴー ?


・わたしの...


既約分数なので...

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

3,9,15

7

の14個は分母か分子の同じ側にしか来れない...

1を除いた19個の残り、19-14=5個と

合わせた6個で...

それらが、上か下になることを考えると、1より大きいか小さいかのいずれかなので、

2^6/2=2^5=32個


のはずですよね ^^


ボケてましたわ ^^; Orz...


・鍵コメT様からのもの Orz〜


分母と分子の積が20!=2*3*4*5*…*20であるからと言って,
「2,3,4,…,20を分母,分子に割り振る」とは限りません.
例えば,20!は2でちょうど18回割り切れ,
(2^18)/(20!/(2^18))は条件を満たす有理数ですが,
この分子2^18は,2~20のいくつかを選んだ積として表現することはできませんね.

次のようになります.

分母と分子の積20!は,
(2^18)*(3^8)*(5^4)*(7^2)*11*13*17*19と素因数分解される.
(実際は,正確な素因数分解は必要ないですが.)
既約分数なので,各素因数2,3,5,7,11,13,17,19は,
それぞれまとめて分母または分子に入る.
どちらに入るかで,2^8通りある.
これらは半数ずつで,(分母)>(分子),(分母)<(分子)となるので,
「0より大きく1より小さい」ものの個数は,(2^8)/2=128(個).


*でしたわ ^^;v

関連記事
スポンサーサイト



コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
そっか!! ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

管理人のみ閲覧できます

-
このコメントは管理人のみ閲覧できます
非公開コメント