2-1343:三次関数が重根を持つような整数aは?

画像:https://pxhere.com/ja/photo/39 より 引用 Orz〜
コーヒー写真0018

問題 2-1343・・・出会いの泉掲示板 https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? 
より ようすけ様投下問 Orz〜

xの多項式x^3-3x^2-3(2a^2+18a+27)x-(34a^2+306a+477)が重根を持つように整数aを定める。
当てはまるaとそのときの重根を答えよ。












































解答

・わたしの...

f'(x)=x^2-2x-(2a^2+18a+27)=0
f''(x)=2x-2=0
so...
3重根のとき...
f'(1)=1-2-2a^2-18a-27=-2a^2-18a-28=0
a^2+9a+14=(a+2)(a+7)=0
(31)a=-2のとき...与式=(x-1)^3・・・三重根=1
(32)a=-7のとき...与式=(x-1)^3・・・三重根=1

2重根のとき...
f(x)=x^3-3x^2-3(2a^2+18a+27)x-(34a^2+306a+477)
-x(x^2-2x-(2a^2+18a+27))
=-x^2-2(2a^2+18a+27)x-(34a^2+306a+477)=0
x^2-2x-(2a^2+18a+27)=0
so...
-2x(2a^2+18a+28)=36a^2+324a+504
x=-(36a^2+324a+504)/(4a^2+36a+56)=-9
f'(-9)=9^2+18-(2a^2+18a+27)=0
a^2+9a-36=(a-3)(a+12)=0
a=3 or -12
(21)a=3のとき...与式=(x-21)(x+9)^2・・・重根=-9
(22)a=-12のとき...与式=(x-21)(x+9)^2・・・重根=-9

PCがないと無理や ^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

少し大変ですが,次のように手計算でできます.
f(x)=x^3-3x^2-3(2a^2+18a+27)x-(34a^2+306a+477),
f'(x)=3x^2-6x-3(2a^2+18a+27)
=3(x^2-2x-(2a^2+18a+27))
であり,
f(x)=(f'(x)/3)*(x-1)+(-4a^2-36a-56)x+(-36a^2-324a-504)
=(f'(x)/3)*(x-1)-4(a+2)(a+7)(x+9).
f(x)=0がx=αを重解に持つならば,
f(α)=f'(α)=0であり,
4(a+2)(a+7)(α+9)=0.

a+2=0ならば,a=-2.(f'(x)=0の解が必ず重解.)
a+7=0ならば,a=-7.(f'(x)=0の解が必ず重解.)
α+9=0ならば,α=-9であり,
f'(-9)/3=0から
81+18-(2a^2+18a+27)=0.
2a^2+18a-72=0.
a^2+9a-36=0.
(a+12)(a-3)=0.
a=-12,3.


・鍵コメY様からのもの Orz〜

微分しなくても、こんな方法もあります。

x=X+1 とおけば、
x^3-3x^2-3(2a^2+18a+27)x-(34a^2+306a+477)
=(X+1)^3-3(X+1)^2-3(2a^2+18a+27)(X+1)-(34a^2+306a+477)
=X^3+3X^2+3X+1-3X^2-6X-3-3(2a^2+18a+27)X-3(2a^2+18a+27)-(34a^2+306a+477)
=X^3-3(2a^2+18a+28)X-(40a^2+360a+560)
となって、2次の項が消えます。
根を p,p,q とすれば、
根と係数の関係により、2p+q=0 , p^2+2pq=-3(2a^2+18a+28) , p^2*q=40a^2+360a+560 になり、
q=-2p を 他の式に代入し、-3p^2=-3(2a^2+18a+28) , -2p^3=40a^2+360a+560 、
p^2=2a^2+18a+28 , p^3=-20a^2-180a-280 、p^2=2(a^2+9a+14) , p^3=-20(a^2+9a+14) です。
a^2+9a+14=0 のとき p=0 , a^2+9a+14≠0 のとき p=-10 です。
a^2+9a+14=0 のとき a=-2,-7 であり、重根は x=X+1=p+1=1 です。
a^2+9a+14≠0 のとき a^2+9a+14=p^2/2 、a^2+9a+14=50 、a=-12,3 であり、重根は x=X+1=p+1=-9 です。

*なはっ...上のどちらの式変形も...わたしにゃ無理や...思いつかないわ... ^^;v
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コメント

>鍵コメY様へ ^^

スモークマン
ご了承いただきありがとうございます ^^♪
オリジナルサイトのアドレスをつけ忘れており、失礼しましたOrz〜
(添付いたします...^^;v)

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>鍵コメY様へ ^^

スモークマン
な・る・ほ・ど☆
これも巧い&簡明な方法ですね♪
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

貴殿の方法もオリジナルサイトに紹介させていただいてもよろしいでしょうか知らん? Orz〜

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
ご了承いただきありがとうございました〜m(_ _)m〜
今朝、早速、例の掲示板に投稿させていただきました ^^
貴殿にとってはありふれた式変形でも...
それができないわたしのようなものには感動を与えてくれますゆえ、記録に残しておくべきと思ったもので...^^v
お礼まで...

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>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
うわぁ!!
見事な式変形すぎる ^^;☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

オリジナルサイトの掲示板への紹介をさせていただいてもよろしいでしょうか知らん?
貴殿のハンドルネームもつけてですけど...

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