2-1341:n^9-n^3≡0 (mod 9)...

ブラックコーヒーカップ000

問題 2-1341・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

任意の整数 $n$ に対し, $n^9-n^3$ は9で割り切れることを示せ.







































解答

・わたしの...

(n^3-1)*n^3*(n^3-1)・・・n^3に関して連続3数の積
(n-1)n(n+1)・・・nに関して連続3数の積

n^3=n
n^2=1...n=1以外はnとn^3とは異なり、n=1 のときは与式は0なので、
3^2を因子に持つ

QED

正しくなかったです ^^; 
(鍵コメT様からのご指摘はコメント欄参照願います Orz〜)

・再考...

n^9^n^3=n^3*(n^3-1)*(n^3+1)
n=3m,3m±1
で、(3m±1)^3=3^3*m^3±3C1*(3m)^2+3C2*(3m)±1
から言える。とするべきでした ^^;v

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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 意味がとれませんでした.
> 例えば,n^9-n^3ではなくn^15-n^5についての話だとして,
> 「整数nに対してn^15-n^5は9で割り切れると言えるか.」
> という問いだったら,結論はどうなりますか?

n^5*(n^5-1)(n^5+1)・・・3の倍数
n(n-1)(n+1)・・・3の倍数
n^5=n...n^4=1
n=1で、与式=0
それ以外ではn≠n^5だから、因数3は2個出るので9の倍数
と同じように言えるかと思うも...n=2 のとき、32*31*33, 2*1*3で...n^5+1からとn+1と重なっている場合はダメなんですね ^^;;

n^9^n^3=n^3*(n^3-1)*(n^3+1)
n=3m,3m±1
で、(3m±1)^3=3^3*m^3±3C1*(3m)^2+3C2*(3m)±1
から言える。とするべきでした ^^;v

直しておきまっす Orz〜

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