2-1338:合同方程式...mod 13

画像:http://blog.livedoor.jp/vivodailystand2-coffee/archives/68277037.html より 引用 Orz〜
d8d31062-s.jpg
問題 2-1338・・・http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node37.html より 引用 Orz〜

例 2.5.2        $p=13$ のとき.2は原始根である. $p$ を法とする剰余系の数 $a$ に対する底2の指数 $I=\Ind.\,a$ は,この節の冒頭の表より次のようになる. 

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert rrrrrrrrrrrr\vert}
\hline
a...
...hline
I&0&1&4&2&9&5&11&3&8&10&7&6\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

*2^I≡a を表しているわけね ^^

2.5.2の表を活用して $x$ を求めよ.

(1)
$11x\equiv 5\quad (\bmod.\ 13)$
(2)
$x^3\equiv 5\quad (\bmod.\ 13)$
(3)
$5x^2+3x-10\equiv 0\quad (\bmod.\ 13)$






































解答

・わたしの...

(1)
11x=13n+5
x=n+(2n+5)/11
n=3
x=4

(2)
表から...x^3≡5≡2^9
so...x=2^3=8

(3)
5x^2+3x-10
≡18x^2+3x-10
≡(3x-2)(6x+5)
≡0
3x≡2≡15 or 6x≡-5≡-18
so...
x≡5 or 10

間違ってるようで...^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

題意は,「例として挙げられた表を利用して方程式を解く」です.

・・・使い方がよくわからなかったというのが正解です...^^;...

(1) 11≡2^7 (mod 13),5≡2^9 (mod 13)から,
方程式は (2^7)x≡2^9 (mod 13)となり,
2^7は13と互いに素だから
(というか,2が原始根なので,13と互いに素なのは当然ですが)
x≡2^2 (mod 13),つまりx≡4 (mod 13).

(2)は,x^3≡2^9 (mod 13)までは正しいですが,
2^12≡1 (mod 13)に注意が必要であり,結論は正しくありません.
つまり,2^9≡2^21≡2^33 (mod 13)であり,
xは,2^3,2^7,2^11のいずれかと,13を法に合同となります.
表から,I=3,7,11のときのaを見て,結論は
x≡8,11,7 (mod 13)です.

(3) (2^9)x^2+(2^4)x-(2^10)≡0 (mod 13)から,
(2^12)x^2+(2^7)x-(2^13)≡0 (mod 13).
x^2+(2^7)x-2≡0 (mod 13).
(x+2^6)^2-2^12-2≡0 (mod 13).
(x+12)^2≡1+2≡3≡2^4 (mod 13).
x+12≡±2^2 (mod 13).
x≡-8,-16 (mod 13),すなわち x≡5,10 (mod 13).


*熟読玩味ぃ...^^
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
> 題意は,「例として挙げられた表を利用して方程式を解く」です.
> (1) 11≡2^7 (mod 13),5≡2^9 (mod 13)から,
> 方程式は (2^7)x≡2^9 (mod 13)となり,
> 2^7は13と互いに素だから
> (というか,2が原始根なので,13と互いに素なのは当然ですが)
> x≡2^2 (mod 13),つまりx≡4 (mod 13).
>
> (2)は,x^3≡2^9 (mod 13)までは正しいですが,
> 2^12≡1 (mod 13)に注意が必要であり,結論は正しくありません.
> つまり,2^9≡2^21≡2^33 (mod 13)であり,
> xは,2^3,2^7,2^11のいずれかと,13を法に合同となります.
> 表から,I=3,7,11のときのaを見て,結論は
> x≡8,11,7 (mod 13)です.
>
> (3) (2^9)x^2+(2^4)x-(2^10)≡0 (mod 13)から,
> (2^12)x^2+(2^7)x-(2^13)≡0 (mod 13).
> x^2+(2^7)x-2≡0 (mod 13).
> (x+2^6)^2-2^12-2≡0 (mod 13).
> (x+12)^2≡1+2≡3≡2^4 (mod 13).
> x+12≡±2^2 (mod 13).
> x≡-8,-16 (mod 13),すなわち x≡5,10 (mod 13).

まだトレースできてません...^^;
but...紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
ゆっくり、反芻したいと思います...^^;;

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