2-1330:無限級数の和...^^;

画像:https://grapee.jp/346861 より 引用 Orz〜
33485_02.jpg

問題 2-1330・・・https://examist.jp/mathematics/limit/mugenkyuusuunowa2/ より 引用 Orz〜

極限003















































解答

・わたしの...

(1)
 (log2-log1)+(log3-log2)+...+(log(n)-log(n-1))+...=lim [n→∞] log(n)=∞

(2)(x/x^4)/(2^2-1/x^2)^2
∫[1,∞]x^(-3)*(2^2-1/x^2)^(-2)dx=1/24
PCの値
x^(-3)*(2^2-1/x^2)^(-2) の原始関数=1/(8-32x^2) になるよう...ここはよく分からず...^^;
so...
0-1/(8-32)=1/24 になるわけね ^^

(3)
(1/2){(1/(1*2)-1/(2*3))+(1/(2*3)-1/(3*4)+...}=(1/2)(1/(1*2)-0)=1/4

(4)
1/(1*2)-1/(2*4)=3/(1*2*4)
so...
与式
=2{1/(1*2)-1/(2*4)+1/(2*3)-1/(3*5)+...}
=2{(1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...)-(1/(2*4)+1/(3*5)+1/(4*7)+...)}
=2{(1-1/2+1/2-1/3+...)-(1/2)(1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+...)}
=2{1-(1/2)(1/2+1/3)}
=2*(7/12)
=7/6

(5)?

(6)
(3+2)/3!=(3!-1)/3!
(3!-1)/3!+3/4!=(4(3!-1)+3)/4!=(4!-1)/4!
以下同様...
so...lim [n→∞] (n!-1)/n!=1-1/n!=1

いい加減すぎるもの多し ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2) ∫[1..∞]x^(-3)*(2^2-1/x^2)^(-2)dxの値は,
無限級数の和とは一致しません.
例えば,もっとシンプルな
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…
であれば,無限級数の和は容易に1とわかりますが,
これは,∫[1..∞]1/(x(x+1))dx (値はlog2です)よりも大きくなります.
(1/(x(x+1)))はx≧1において単調減少であり,
グラフを考えて,無限級数の和を棒グラフの面積と捉えれば,
定積分の値よりも無限級数の和が大きくなることは当然です.)

n/((4n^2-1)^2)=n/(((2n+1)(2n-1))^2)
=((2n+1)^2-(2n-1)^2)/(8((2n+1)(2n-1))^2)
=(1/8)(1/(2n-1)^2-1/(2n+1)^2)
だから,
1/((2^2-1)^2)+2/((4^2-1)^2)+3/((6^2-1)^2)+…+n/(((2n)^2-1)^2)
=(1/8)((1/(1^2)-1/(3^2))+(1/(3^2)-1/(5^2))+(1/(5^2)-1/(7^2))+
…+(1/((2n-1)^2)-1/((2n+1)^2)))
=(1/8)(1-1/((2n+1)^2))
→1/8 (n→∞)
とするのが分かりやすいと思います.

なお,I=∫x^(-3)*(4-x^(-2))^(-2)dxを求めるなら,
4-x^(-2)=tとして,dt/dx=2x^(-3)となることから,
I=∫(1/2)*t^(-2)dt=-(1/2)t^(-1)+C
=-(1/2)/(4-x^(-2))+C
=1/(2x^(-2)-8)+C
=(x^2)(2-8x^2)+C
となります.
書かれている原始関数は,C=1/8として分子の次数を下げたもので,
(x^2)/(2-8x^2)+(1/4-x^2)/(2-8x^2)
=(1/4)/(2-8x^2)
=1/(8-32x^2)
です.

(5) (n+3)/(n(n+1))*(2/3)^n=(3(n+1)-2n)/(n(n+1))*(2/3)^n
=(3/n-2/(n+1))*(2/3)^n
=(2^n)/(n(3^(n-1)))-(2^(n+1))/((n+1)(3^n))
だから,
4/(1*2)*(2/3)+5/(2*3)*(2/3)^2+…+(n+3)/(n(n+1))*(2/3)^n
=((2^1)/(1*3^0)-(2^2)/(2*3^1))+((2^2)/(2*3^1)-(2^3)/(3*3^2))
+…+((2^n)/(n*3^(n-1))-(2^(n+1))/((n+1)(3^n)))
=2/1-(2^(n+1))/((n+1)(3^n))
→2 (n→∞)
となります.

*これは特殊能力が求められるような気がする...^^;;
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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
エクセレント♪
これは...数覚が必要とされると思われます...!!
なかなか思いつけましぇんばい ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

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