2-1139:1〜200から100個選んだ和と残りの和との差の2乗の平均値は?...^^;

画像:https://www.jalan.net/news/article/362442/ より 引用 Orz〜
モーニングセット000

問題 2-1139(友人問)

1以上200以下の整数がちょうど1つずつ黒板に書かれており、このうちちょうど100個を

丸で囲んだ。この状態の得点とは、丸で囲まれた整数の総和から丸で囲まれていない整数の

総和を引いた値の2乗である。すべての丸の付け方の得点の平均を求めよ。











































解答


・わたしの...


和が201のペア100組の差は0

101〜200までと1〜100との差は100^2


全体の和:S

選んだ100個の和:x

|(S-x)-x|^2=(S-2x)^2

               =S^2-4Sx+4x^2

xは100個の和の平均=(201/2)*100

S=201*200/2

so...

S^2-4Sx+4x^2

=20100^2-4*20100*201*50+4*201^2*50^2

=0

so...

20100-2*100^2=100

so...

100^2〜0 の平均=100^2/2=5000


かいなぁ...?


じぇんじぇん嘘 ^^; Orz...


・鍵コメT様からのもの Orz〜


「和が201のペア100組」は,
「1と200」とか「2と199」とか…ですが,
「その差が0」というのはどういう意味でしょうか?
書かれている意味が取れませんでした.

例えば,1,2,3,4に対して,2個を丸で囲んで同様の操作をすれば,
得点は,
(1+2-3-4)^2=16,(1-2+3-4)^2=4,(1-2-3+4)^2=0,
(-1+2+3-4)^2=0,(-1+2-3+4)^2=4,(-1-2+3+4)^2=16
が等確率で起こり,
得点の平均は
(16+4+0+0+4+16)/6=20/3となります.

この場合に関して言えば,
(1a+2b+3c+4d)^2 (a,b,c,dはそれぞれ±1で,+,-が2個ずつ)
は,a^2+4b^2+9c^2+16d^2+4ab+6ac+8ad+12bc+16bd+24cd
と展開され,a^2,b^2,c^2,d^2はすべて1であり,
ab,ac,ad,bc,bd,cdはそれぞれ±1です.
+1と-1がどういう割合で起こるかを考えるのがよさそうであり,
(実際,+1は1/3,-1は2/3の割合で起こって)
平均は1+4+9+16+(4+6+8+12+16+24)*(1/3-2/3)
=30-70*(1/3)
=20/3
と計算されます.

1以上200以下の200数に対しても,
これと同様の考察をするのがよいと思います.


*よくわからないまま...以下の友人からのものが届きましたのでアップ Orz〜


差の2乗の平均値000

差の2乗の平均値001


*わかるかどうかわからねど...熟読玩味ぃ〜^^;v

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コメント

>鍵コメT様へ ^^

スモークマン
う〜む...^^;
beyond me...
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
友人からのものも届いてしまいました...^^;v

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