2-7：証明...とある4次方程式には解のうち正の解がただ一つに限る...

2-7(友人問)

a,b,c,dがすべて正のとき、xに関する4次方程式
x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0
は、解のうちに正のものがあり、しかも正の解は
ただ1つに限ることを示せ。















































解答

・わたしの...

4根をp,q,r,s
pqrs=負
p+q+r+s=正
so...
1根 or 3根のみが正で残りは負

f(x)=x^4-ax^3-bx^2-cx-d
f'(x)=4x^3-3ax^2-bx-c=0・・・極値をとるxは1個だけ正 or 3個とも正
f''(x)=12x^2-6ax-b=0・・・変曲点のxは正負が異なる
3個の根が正だと...極値が3個となるので、変曲点のx座標は2個とも正で異ならないので無理
1個の根だけ正の場合、極値が1個で、左隣の極値の負のx座標と変曲点のx座標の間にy軸があることを意味し、それは可能。
so...QED

↑
正しくないようです ^^; Orz...
↓

・鍵コメT様からのなるほどの解答 Orz〜

本問ですが，根のうちに虚数があり得るので，
「1根or3根のみが正で残りは負」は言えません．
以下のようにするのが普通かと思います．
f(x)=x^4-ax^3-bx^2-cx-dとおく．
f(x)は連続で，f(0)<0,f(x)→∞(x→∞)だから，
少なくとも1つの正の解がある．
2つの正の解があると仮定し，それをx=α,β(α<β)とする．
平均値の定理より，(f(β)-f(α))/(β-α)=f'(p)であるpがα<p<βに存在し，
f'(p)=0.
また，(f(α)-f(0))/(α-0)=f'(q)であるqが0<q<αに存在し，
f'(q)=d/α>0であって，f'(0)=-c<0と合わせて，
f'(r)=0となるrが0<r<q(<α)に存在する．
つまり，f'(x)=0は少なくとも2つの正の解をもつ．
同様の考察から，f''(x)=0も少なくとも2つの正の解をもつことになり，
f''(x)=12x^2-6ax-2bで，f''(x)=0の2解の積は-b/6<0となることに反する．

*コピペしたら...文字化けしてませんでしたわ ^^;v