19781:(1+i)^n+(1-i)^n>10^10を満たす最小の正の整数nは?

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シマウマが大好きな理由がよくわからん ^^...

問題19781・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz~

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解答

・わたしの...

(1+i)^2=2i
(1-i)^2=-2i
so...
(1+i)^4=-4
(1-i)^4=-4
so...
(1+i)^8=16
(1-i)^8=16
2*(2^4)^(n/8)=>10^10
2^34-10^10>0 のとき初めてなる...これって手計算できるのかしらん...^^;
so...
33<=4*m・・・・8m=n
m=9
so...
n=72
になるはずね ^^

精緻じゃなかった ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz~

(1+i)^nが正の実数となるのはnが8の倍数のとき限定ですが,
(1+i)^nと(1-i)^nは互いに共役であることから,
その和は(1+i)^nの実部の2倍であり,必ず実数となります.
つまり,nが8の倍数でなくても,題意の不等式は成立する可能性があり,
その場合も調べる必要があります.

(1+i)^nの偏角は,
n≡0 (mod 8)で0,n≡±1 (mod 8)で±π/4,n≡±2 (mod 8)で±π/2,
n≡±3 (mod 8)で±3π/4,n≡4 (mod 8)でπであり,
その実部が正となるのはn≡0,±1 (mod 8)の場合に限る.
(1±i)^8=2^4=16であることに注意して,
n=8kのとき,(1+i)^n+(1-i)^n=16^k+16^k=2^(4k+1).
n=8k+1のとき,(1+i)^n+(1-i)^n=(16^k)(1+i)+(16^k)(1-i)=2^(4k+1).
n=8k-1のとき,(1+i)^n+(1-i)^n=(16^k)/(1+i)+(16^k)/(1-i)=2^(4k). 

2^10=1024であり,10^6<2^20<1.1*10^6,10^9<2^30<1.2*10^9であり,
2^33=(2^30)*8<10^10,2^34=(2^30)*16>10^10とわかることから,
2のべき乗がはじめて10^10を超えるのは2^34であり,
n=8k-1でk=9のとき,つまりn=71が求める最小のnとなります. 

*4*9=36>34 だからですね ^^v
お気に入りぃ~^^♪
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コメント

No title

スモークマン
>0:46amの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
大小の比較も巧いものですねぇ☆
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v
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