19778:証明...(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でない。

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夏休みで、孫が帰ってきた...悪魔はなりを潜めてたわ ^^;v

問題19778・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz~

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解答

・わたしの...

(1)
5n^2+9-5(n^2+1)=4
n^2+1と4の最大公約数...n=1 の時、2

(2)
n^2+1 と 5n^2+9 の最大公約数が2なのだから...あるとしたら...4m^2
n^2≡0,1 (mod 4)
n^2+1≡1 or 2
5n^2+9≡1 or -1
これらの積は4m^2≡0 になれないので無理あるね ^^

なってない ^^;
3回目の出場だったってのに...Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz~

(1) nによって最大公約数は異なります.
(2) 最大公約数の値によって場合分けが必要です.
また,最大公約数が2であるとして,5n^2+9≡1 or 2が正しいです.
(そもそも5n^2+9≡1 or -1であれば,5n^2+9は奇数であり,
最大公約数は2にはなり得ません.してみると,
最大公約数が2であるときは,n^2+1≡2,5n^2+9≡2 (mod 4)です.)

2数がともに,4を法として2と合同であるとして,
それは積が4m^2とならない根拠とはなりませんね.

けっこう最近の,問題19579(
https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=19579&sk=0 参照) です.

*次出たら...完全にボケたと思ってくらはいまし...^^;;...
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コメント

No title

スモークマン
>4:46pmの鍵コメT様へ ^^
またしても同じ轍を...何回踏んでも懲りないわたしだす ^^;
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v
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