19774:(a+2)^p-a^p を2pで割った余りは?...基本 ^^

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問題19774・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz~

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解答

・わたしの...

(1)
pCk...k=1~(p-1)の場合は分子にpが残るので...pの倍数

(2)
pCk*2^k...k=1~pまでなので...偶数

(3)
最後の、2^p/(2P)=2^(p-1)/p

ね ^^

(3)はおかしかったわ ^^; Orz...

・鍵コメT様からのもの Orz~

(3) 「割ったときの余り」は整数になります.
2^(p-1)/pは,pが3以上の素数であれば,整数にはなりません.

(2)より,(a+2)^p-a^pは2で割り切れる.
また,(1)より,(a+2)^p-a^p-2^pはpで割り切れるから,
(a+2)^p-a^pをpで割った余りは,2^pをpで割った余りと一致する.

2^pをpで割った余りは,p=2のときは0であり,p≧3のときは2であるから,
求める余りは,p=2のとき0,p≧3のとき2.

*p≧3のとき,2^(p-1)≡1 (mod p)だからこそ2^p≡2 (mod p)です.
これより,(a+2)^p-a^pは,「偶数かつ,pで割って2余る」ことになります.
このことから,2pで割った余りは2に確定します.

なお,2^(p-1)≡1 (mod p)から直接2^p≡2 (mod 2p)とすることは可能です.

*了解でっす ^^♪
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コメント

No title

スモークマン
>1:29amの鍵コメT様へ ^^
2^p=2*(2^(p-1)=2*(pm+1)=2pm+2
so...2^pを2pで割った余りは...2
と鈍なわたしはやっとこ気づけましたわ ^^;v
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v

No title

スモークマン
>1:07amの鍵コメT様へ ^^
2^pをすでに2で割った後は、pで割るだけにはならないのかいなぁ...^^;
いい加減にしかわかってないわたしだぁ...^^;;
とりあえず、今日は店じまいってことですみません...Orz...

No title

スモークマン
>7/28.9:28pmの鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
but...2pで割った余りだから...2^(p-1)≡1 (mod p≠2) になりませんでしょうかしらん?...^^;...
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