19041:フィボナッチ...F(14)=233,F(15)=377 のとき,F(30)=?...

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問題19041・・・https://sansu-seijin.jp/most/1586/ より 引用 Orz~

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解答

デジャヴー ?

・わたしの...

f(16)=f(15)+f(14)=610
f(17)=f(15)+f(15)+f(14)=2f(15)+f(14)=987
f(18)=3f(15)+2f(14)=1597
f(19)=5f(15)+3f(14)
so...
f(30)
=f(3+15)*f(15)+f(2+15)*f(14)
=1597*377+987*233
=832040

1つずれてましたわ ^^; Orz...

・鍵コメT様からの優れもの Orz~

例えば,f[19]=5f[15]+3f[14]は,f[19]=f[6]f[15]+f[5]f[14]と表されます.
f[30]=f[17]f[15]+f[16]f[14]=987*377+610*233=514229
となります.832040はf[31]ですね.

多分,想定解は,以下の方法でしょう.

f[1]=0,f[2]=1,f[n+2]=f[n+1]+f[n]のとき,n≧2に対して
「f[2n]=(f[n])^2+(f[n+1])^2,f[2n+1]=(f[n+2])^2-(f[n])^2」
が成り立ちます.
[証明]
数学的帰納法により示す.

n=2のとき,f[4]=2,f[2]=f[3]=1,f[5]=3より成立.

n=kのときの成立を仮定して,
f[2k+2]=f[2k+1]+f[2k]
=((f[k+2])^2-(f[k])^2)+((f[k])^2+(f[k+1])^2 (帰納法の仮定より)
=(f[k+1])^2+(f[k+2])^2,
f[2k+3]=f[2k+2]+f[2k+1]
=((f[k+1])^2+(f[k+2])^2)+((f[k+2])^2-(f[k])^2) (上式と帰納法の仮定より)
=(f[k+1])^2+2(f[k+3]-f[k+1])^2-(f[k+3]-2f[k+1])^2・・・ここが技ですね ^^;v
=(f[k+3])^2-(f[k+1])^2
から,n=k+1でも成り立つ.

以上により示された.

証明までするとなると,なかなか厄介かもしれませんが,
具体的な数値で規則を見つけ出すことは十分可能だと思います.
f[30]をf[14]とf[15]で表したいので,
f[4]をf[1]とf[2]で,f[6]をf[2]とf[3]で,f[8]をf[3]とf[4]で
表す式を探します.これ自体はなかなか厳しいですが,1つずらしたものなら
比較的容易に気付けそうです.

「f[4]=2をf[2]=1とf[3]=1で,f[6]=5をf[3]=1とf[4]=2で,
f[8]=13をf[4]=2とf[5]=3で,f[10]=34をf[5]=3とf[6]=5で
表す式」となれば,「2乗の和」が浮かんでくると思います.

ということで,
f[30]=(f[15])^2+(f[16])^2
=(f[15])^2+(f[14]+f[15])^2
=377^2+610^2
=514229
です.

*確かに☆
f[2n}+f[2n+1]=f[2n+2]=(f[n+1])^2+(f[n+2])^2
f[2n+1]+f[2n+2]=f[2n+3]=(f[n+2])^2-(f[n])^2+((f[n+1])^2+(f[n+2])^2)
                                 =2*(f[n+3]-f[n+1])^2+f[n+1]^2-(f[n+3]-2f[n+1])^2
                                =(f[n+3])^2-(f[n+1])^2
と再帰的に生成されてますのねぇ ^^

一般式から、この関係を出せないかと思うも...
つまり...
((1/√5){((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n})^2
           +((1/√5){((1+√5)/2)^(n+1)-((1-√5)/2)^(n+1)})^2
=(1/√5){((1+√5)/2)^(2n)-((1-√5)/2)^(2n)}

も...どうすればいいのかわかりませんばい...^^;;
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コメント

No title

スモークマン
>0:09amの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
1個ずれてましたわ ^^;;
もっと楽な式が埋もれてましたのねぇ♪
っていうか...
>f[2n]=(f[n])^2+(f[n+1])^2,f[2n+1]=(f[n+2])^2-(f[n])^2
をフィボナッチ数の定義にしてもいいわけですよね?
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v
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