16552:証明...5頂点とも格子点のせい五角形は存在しない...

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問題16552(友人問)

5頂点とも格子点であるような正5角形は存在しない
ことを証明せよ。














































解答

・わたしの...

以下のようなもので考えていいのか明らかではないのですが...^^;
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・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz~

いろいろな方法が考えられますが,私の好みは次の方法です.

正5角形ABCDEの頂点がすべて格子点であるとしましょう.
対角線BD,ECの交点をA'とすると,四角形ABA'Eは平行四辺形だから,
AA'の中点とBEの中点は一致し,
A'の座標は,x,yともに,(Bの座標)+(Eの座標)-(Aの座標)となるので,
A'も格子点となります.
同様に,CEとADの交点をB',DAとBEの交点をC',
EBとCAの交点をD',ACとDBの交点をE'とすると,
B',C',D',E'はすべて格子点はすべて格子点となります.

対称性より,5角形A'B'C'D'E'は正五角形となり,
すべての頂点が格子点である正5角形A'B'C'D'E'が
正五角形ABCDEの内部に作られたことになります.
同様の操作を繰り返すことができて,
正5角形ABCDEの内部には無数の格子点が含まれることになり,矛盾です.


*いいですね♪
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コメント

No title

スモークマン
>9:45pmの鍵コメT様へ ^^
No worries.
ってフレーズを使ってみたり...^^v

No title

スモークマン
>9:00pmの鍵コメT様へ ^^
なるほどねぇ!!
(B+E)/2=(A+A')/2 だからですね☆
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v
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