16548:自然数の約数の個数とその総和...

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問題16548・・・やどかりさんのブログ より Orz~

 自然数Nの 正の約数の個数が 12 ,その総和が 2394 のとき、N=?



















解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38540361.html より 引用 Orz~

 n を自然数、p,q,r を相異なる素数とし、n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 また、合同式は mod 4 を表すものとします。

 S(2n)≡3 であり、p≡1 のときは S(pn)≡n+1 であり、

 p≡3 のときは n が奇数のとき S(pn)≡0 ,n が偶数のとき S(pn)≡1 です。

 約数の個数が 12=22・3 なので、N=p11 ,N=p5q ,N=p3q2 ,N=p2qr の形で表されます。

 また、S(N)=2394=2・32・7・19 ですので、S(N)≡2 です。

 N=p11 の形で表されるとき、S(N)=S(p11)≡3,0 なので適しません。

 N=p5q の形で表されるとき、S(N)=S(p5)S(q) です。

  p=2 のとき S(N)=S(25)S(q) 、2・32・7・19=63(1+q) 、q=37 、N=25・37=1184 です。

  p=3 のとき S(N)=S(35)S(q)≡0 なので適しません。

  p≧5 のとき S(N)>S(p5)>55=3125>2394 で適しません。

 N=p3q2 の形で表されるとき、S(N)=S(p3)S(q2) です。

  p=2 のとき S(N)=S(23)S(q2)=15・S(q2)=2・32・7・19 にはなりません。

  p が奇数のとき S(N)=S(p3)S(q2)≡0 なので適しません。

 N=p2qr の形で表されるとき、S(N)=S(p2)S(q)S(r)=(1+p+p2)(1+q)(1+r) です。

  q,r がともに奇数であれば、S(N)≡0 で適しませんので、何れかは 2 です。

  r=2 として、N=2p2q ,S(N)=3(1+p+p2)(1+q) ですので、(1+p+p2)(1+q)=2・3・7・19 、

  p,q が 奇素数であり、1+3+32=13 ,1+5+52=31 はいずれも 2・3・7・19 の約数でないので、

  p≧7 、1+p+p2≧1+7+72=57 、よって、2・3・7・19/57≧1+q≧1+3 、14≧1+q≧4 です。

  また、1+q は偶数ですので、(1+p+p2,1+q)=(133,6),(57,14) 、

  (p,q)=(11,5),(7,13) 、N=2・112・5,2・72・13=1210,1274 です。

 まとめると、N=1184,1210,1274 です。


[参考]

 (1184,1210)は パガニーニが 1866年(1860年?)に発見した 友愛数です。

 詳しくは、 https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38538720.html をご覧ください。


*同様に...^^

2394=2*3^2*7*19
p^a*q^b*r^c
(a+1)(b+1)(c+1)
=12
=2*6
=2*2*3
=3*4

1+2+2^2+…+2^10=2023…なし
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5=63=7*9
1+3+3^2+3^3+3^4+3^5=364…なし
1+2+2^2+2^3=15…なし
1+3+3^2+3^3=40…なし
1+5+5^2+5^3=156…なし
1+7+7^2=57=3*19
1+2+2^2=7
2*3=6=1+5
2*7=14=1+13
2*19=38=1+37
3=1+2

so…a*b*cは…2*2*3 or 2*6
37*2^5=1184
13*2*7^2=1274
2*5*11^2=1210 

*確かに、友愛数のペアは存在しうるわけでしたのねぇ ^^☆
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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>5:43amの鍵コメY様へ ^^
なるほど!!
全然気付きませんでしたけど...一つが満たせばもう一つも満たす関係の数でしたのねぇ☆
面白い数はまいだ人知れず白雪姫のように眠っているのかも知れません...^^

No title

スモークマン
>9:53pmの鍵コメY様へ ^^
あたっ..^^;
ご指摘グラッチェです&申し訳ございませんでした~m(_ _);m~v
次の重複記事は削除いたしますぅ~^^;v
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