16547:4桁の自然数abcd,b+d=a+c+10...

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問題16547・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz~

4桁の自然数の 千の位を a ,百の位を b ,十の位を c ,一の位を d とします。
4桁の自然数 9000個のうち、b+d=a+c+10 を満たすものの最小のものは? 
最大のものは?また、条件を満たす4桁の自然数すべての和は?









































解答


 最小のものは a=1,c=0 のときで b+d=11 だから b=2,d=9 のとき、1209 です。

 最大のものは b=9,d=9 のときで a+c=8 だから a=8,c=0 のとき、8909 です。

 (a,x,y,z) を a+x+y+z=11 を満たす自然数の組とすれば、103=120 組あり、

 b=10-x ,c=y-1 ,d=10-z とすれば、

 a,b,c,d は9以下の負でない整数となり、a≠0 です。

 また、b+d=20-(x+z)=20-(11-a-y)=a+y-1+10=a+c+10 になり、

 条件を満たす4桁の自然数と1対1に対応し、条件を満たす4桁の自然数は 120個あります。

 k=1,2,3,4,5,6,7,8 として、120個のうち、a=k のものは 10-k2 個あるので、

 120個の a の合計は、k・10-k2 の総和になります。

 これは、0 以上 10 以下の整数から kより小さい数を1個,kより大きい数を2個を選ぶ場合の数に等しく、

 0 以上 10 以下の整数から4個を選んで2番目に小さい数をkにすると考え、114=330 です。

 120個の a の平均は 330/120 になり、同様に、x の平均,y の平均,x の平均も 330/120 です。

 1000a+100b+10c+d=1000a+100(10-x)+10(y-1)+(10-z)=1000a-100x+10y-z+1000 、

 その平均は 1000・330/120-100・330/120+10・330/120-330/120+1000=909・330/120+1000 、

 合計は 120・(909・330/120+1000)=909・330+120000=419970 です。

*どうしてこれでカウントできてることになるのかよくわかってましぇん ^^;
何回も地道に数えても正解に至らぬわたし...^^;;
計算力弥下がり也...^^;;;
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