16333:最大公約数と最小公倍数...^^;

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問題16333・・・https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz~

ある自然数AとBがある。 
この2数の最大公約数をG、最小公倍数をLとするとき、 
A^2+B^2+G^2+L^2=1300が成り立つ。 

(1)  G>1のときのAとBの値を求めよ。 
(2)  G=1のときのAとBの値を求めよ。

(2002年開成)






























解答

・わたしの...

1300=13*2^2*5^2
A=aG, B=bG,L=abG
G=1
a^2+b^2+1+a^2*b^2=1300
a^2+b^2+1+a^2*b^2=a^2(b^2+1)+(b^2+1)=(a^2+1)(b^2+1)=1300
(a,b)=(5,7),(7,5)・・・(2)の答え

G=2
a^2+b^2+1+a^2b^2=13*5^2=325
=(a^2+1)(b^2+1)=325...
2,8...最大公約数が4になるのでなし

G=5
(a^2+1)(b^2+1)=13*2^2=52
1,5
so...(a,b)=(5,25),(25,5)・・・(1)の答え

G=10
(a^2+1)(b^2+1)=13...なし

手計算ではどうするんでっしゃろ...^^;


・鍵コメT様からのもの Orz~

十分手計算でできる量に見えます.

私は次のようにしましたが,さほど変わりません.

1300=(2^2)*(5^2)*13.
A=aG,B=bG,L=abGと表せて,a,bは互いに素.
(a^2+b^2+1+(ab)^2)G^2=1300.
(a^2+1)(b^2+1)G^2=1300.

a,bは互いに素だから,少なくとも一方は奇数であり,(a^2+1)(b^2+1)は偶数.
よって,G^2は1300/2の約数だから,G=1,5に限る.

また.平方数を4で割った余りは0または1だから,
a^2+1,b^2+1は2で2回以上割り切れることはなく,
その積が2^2の倍数であることから,a,bはともに奇数. 

(1) G=5.
(a^2+1)(b^2+1)=(2^2)*13であり,
a^2+1,b^2+1は2と26に限る.
(a,b)=(1,5),(5,1)であり,(A,B)=(5,25),(25,5).

(2) G=1.
(a^2+1)(b^2+1)=(2^2)*(5^2)*13であり,
{(a^2+1)/2,(b^2+1)/2}は,{1,325},{5,65},{13,25}に限り,
a,bともに奇数となるのは{13,25}だけで,
そのとき(a,b)=(5,7),(7,5).
よって,(A,B)=(5,7),(7,5). 

*流石、AI頭脳の持ち主あるね☆
わたしゃ...G=1 の方は...無理だなぁ ^^;...
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コメント

No title

スモークマン
>0:22amの鍵コメT様へ ^^
手計算で...流石ですねぇ^^;☆
紹介させていただきまっす~m(_ _)m~v
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