1840:多項式

イメージ 1

問題1840・・・ひよこさんのブログ http://myhome.cururu.jp/gersdorffite/blog/article/71002190235 より Orz~

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e とおく。
 f(x) が任意の整数xに対して整数値をとるような、
 実数a, b, c, d, e に関する必要十分条件を求めよ。



































































解答

上記サイトより Orz~

・かえでさんのもの Orz~

次の「補題」を使えばうまくいくと思うネ(・∀・)!

 「補題」
 f(x)をn次の実数係数多項式とするとき、
 「任意の整数xに対して、f(x)が整数値をとる
 ⇔ f(x+1)-f(x)が任意の整数xに対して整数値をとり、f(0)が整数である」
 が成立する。

 (証明)
 (→) 任意に整数xをとってくると、f(x+1)とf(x)はともに整数となるから、
     f(x+1)-f(x)も整数となる。そしてx=0をとってくることより、f(0)も整数とわかる。

 (←) 任意の整数x>0をとってくると、
     f(0)+Σ_[k=0 to x-1] {f(k+1)-f(k)} = f(x) となるが、
     f(k+1)-f(k) が整数であることより、Σ_[k=0 to x-1] {f(k+1)-f(k)} も整数で、
     それとf(0)との和も整数となるので、 f(x)は整数であるといえる。
     x<0 のときも同様であるから、よって示せた。


なるほどですね♪
ここから先にすぐ思いが馳せられるか問われてますかね ^^;v
具体的な数値は上記サイトへ Go~!^^

関連記事
スポンサーサイト



コメント

非公開コメント

トラックバック