10529:嗅覚...△内部の点...

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問題10529・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36509591.html#36509591 より Orz~

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△ABCと内部の点Pがあり、∠ABP=21゚,∠CBP=30゚,∠BCP=9゚,∠ACP=42゚ のとき、∠BAP=?





















解答

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[解答1]

 一般に、右上図の
3個の sin の積と 3個の sin の積は等しいので、

 sin9゚・sin∠CAP・sin21゚=sin30゚・sin42゚・sin∠BAP 、

 sin9゚・sin21゚・sin∠CAP=(1/2)・2sin21゚cos21゚・sin∠BAP 、

 sin9゚・sin∠CAP=sin69゚・sin∠BAP 、

 ∠BAC=78゚ なので、∠BAP=θ (0゚<θ<78゚) とすれば、∠CAP=78゚-θ だから、

 sin9゚sin(78゚-θ)=sin69゚sinθ 、

 θ=9゚ のときこの等式は成り立ち、

 0゚<θ<78゚ の範囲で左辺は単調減少、右辺は単調増加なので、これ以外のθでは成り立ちません。

 よって、∠BAP=9゚ ( ∠CAP=69゚ ) です。

 3個の sin の積と 3個の sin の積が等しい理由は、

 △PBCで正弦定理より、PB/sin∠BCP=PC/sin∠CBP 、

 △PCAで正弦定理より、PC/sin∠CAP=PA/sin∠ACP 、

 △PABで正弦定理より、PA/sin∠ABP=PB/sin∠BAP 、

 辺々乗じて、PA・PB・PC/(sin∠BCP・sin∠CAP・sin∠ABP)=PA・PB・PC/(sin∠CBP・sin∠ACP・sin∠BAP) 、

 よって、sin∠BCP・sin∠CAP・sin∠ABP=sin∠CBP・sin∠ACP・sin∠BAP です。


[解答2]

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので、BC=2ACcos51゚ 、

 ∠BPC=141゚ なので、△PBCで正弦定理より、CP/sin∠CBP=BC/sin∠BPC 、

 CP=BCsin∠CBP/sin∠BPC=2ACcos51゚sin30゚/sin141゚=2ACcos51゚sin30゚/cos51゚=AC となり、

 ∠CPA=∠CAP=(180゚-42゚)/2=69゚ 、∠BAP=9゚ です。


[解答3] sbr*d4*5さん,tsuyoshik1942さん,uch*n*anさんの解答を参考に

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので AB=AC 、

 また、BPの延長と∠ACPの二等分線の交点をQとすれば、∠QBC=∠QCB=30゚ なので QB=QC 、

 A,Qはともに辺BCの垂直二等分線上にあることになり、∠BQC=∠CQA=∠AQB=120゚ です。

 二角夾辺相等により、△CQA≡△CQP になり、CA=CP 、

 ∠CPA=∠CAP=(180゚-42゚)/2=69゚ 、∠BAP=9゚ です。


[解答4]

 ∠ABC=∠ACB=51゚ なので AB=AC 、また、∠BAC=180゚-2・51゚=78゚ になり、

 ∠BAC/2=39゚=∠PBC+∠PCB=180゚-∠BPC なので、

 Aを中心とする B,Cを通る円を描き、BCに関してPと対称な点をRとすれば、

 Rもこの円周上にあり、AR=AC 、また、∠ACR=60゚ だから △ARCは正三角形です。

 △BPRも正三角形になるので、A,Pはともに線分BRの垂直二等分線上にあることになり、

 ∠BAP=(∠BAC-∠CAR)/2=(78゚-60゚)/2=9゚ です。 



*[解答1]は、驚きモモの木Aha~のため息 ^^☆

わたしのはたまたまだったのかいなぁ…^^;
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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

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スモークマン
>6:32pmの鍵コメ様へ ^^
よくわからなくなりました…^^;;
Orz~

No title

スモークマン
>11:57pmの鍵コメ様へ ^^
とりあえず...もうちょい詳しいコメントをさせて頂きましたぁ ^^;v
Orz~

No title

スモークマン
>6:25pmの鍵コメ様へ ^^
ただいまぁ~です ^^
👍 👍 👍 vw^^wv
天は二物も与えなさることがこのところ多し ^^;v Orz~
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