9647:サーティワンアイスの体積...

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問題9647・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36047279.html ;
より Orz~

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 図は直径が 51 の球の一部Aと円錐Bと組み合わせた立体で、円錐の母線は球面と接しています。

 Aの部分とBの部分の表面積が等しいときのこの立体の体積は?

























































解答


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[解答]

 半径が r の球は 円 x2+y2=r2 を x軸の周りに回転させてできます。

 そのうちの a≦x≦b (-r≦a<b≦r) の部分について、

 体積は π∫ab y2dx=π∫ab (r2-x2)dx=π{r2[x]ab-(1/3)[x3]ab}

  =(π/3)(b-a)(3r2-b2-ab-a2) になり、

 x2+y2=r2 を xで微分すると 2x+2yy'=0 より yy'=-x だから、

 表面積は 2π∫ab y√{1+(y')2}dx=2π∫ab √{y2+(yy')2}dx=2π∫ab √{y2+(-x)2}dx=2πr∫ab dx

  =2πr(b-a) になります。

 母線とこの円の接点を(p,q) (p>0,q>0)とすれば、接線は px+qy=r2 だから、(r2/p,0)で x軸と交わります。

 (母線の長さ)2=(r2/p-p)2+q2=r4/p2-2r2+p2+q2=r4/p2-r2=(r2/p2)(r2-p2)=q2r2/p2 だから、

 (母線の長さ)=qr/p です。

 よって、体積と 半径がqの円を除く表面積は次のようになります。

 Aの体積 (π/3)(p+r)(3r2-p2+pr-r2)=(r+p)2(2r-p)π/3

 Bの体積 (π/3)q2(r2/p-p)=(r2-p2)2π/(3p)=(r+p)2(r-p)2π/(3p)

 Aの表面積 2πr(p+r)

 Bの表面積 πq2r/p=π(r2-p2)r/p=π(r+p)(r-p)r/p

 AとBの表面積が等しいとき、2πr(p+r)=π(r+p)(r-p)r/p 、2=(r-p)/p 、p=r/3 、

 立体の体積は、

 (r+p)2(2r-p)π/3+(r+p)2(r-p)2π/(3p)=(r+p)2{(2r-p)p+(r-p)2}π/(3p)

  =(r+p)2r2π/(3p)=(r+r/3)2rπ=16r3π/9 です。

 本問では、2r=51 ですので、16r3π/9=2(2r)3π/9=2・513π/9=29478π=92607.868…… です。


[参考]

 体積を求めるとき、下図のように、

 Aが球の中心まで円錐状にくぼんだ立体,Bが2つの円錐を合わせたものと考えれば、

 Aの球面の部分の面積は 2πr(p+r)=2πr(r/3+r)=8πr2/3 だから、

 Aの体積は、底面積が 8πr2/3 で 高さが r の円錐の体積と等しく、8πr3/9 、

 Bの体積は、底面積が πq2=π(r2-p2)=π(r2-r2/9)=8πr2/9 ,

 高さが r2/p=r2/(r/3)=3r の円錐の体積と等しく、8πr3/9 です。

 両方の体積が等しく、合わせた体積は 2・8πr3/9=16πr3/9 です。



*これは、球冠・球帯の面積が円柱の側面積と等しいことを覚えていたのと、
[参考]のことに気付けたのでなんとかゴールできました♪

2r*(r+h)=(r/h)*(r^2-h^2), r=51/2
2h=(r-h)・・・3h=r・・・h=51/6

球の体積の方は…表面積分が減り、切断面の円錐分を加えればいいはず…
全体2,下の減る部分は2/3
so…2 : 2/3=3 : 1

Bの体積=(8/9)*(8/3)*(1/3)*(51/2)^3*π
=(64/81)*(51/2)^3*π

Aの体積=((4/3)*(2/3)+(8/9)*(1/9))*(51/2)^3*π
=(80/81)*(51/2)^3*π

so…
A+B=((64+80)/81)*(51/2)^3*π
=29478*π
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コメント

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スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

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スモークマン
>鍵コメT様へ ^^
👍 👍 👍 ^2 ww^^ww
何なんでしょね…?
女性のモナリザの微笑み?ってのに魅了されちゃうのは…^^;v Orz~
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