7829:コッホ雪片...

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問題7829・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34774729.html より Orz~

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 図は、最初 面積が 49 の正三角形で、その全部の辺を3等分し、分割した2点を頂点として

 その外部に正三角形を作図することを繰り返したものです。

 これを無限に繰り返した場合の面積の極限値は?




*[参考]

http://ja.wikipedia.org/wiki/コッホ曲線 より Orz~
コッホ曲線Koch curve)はフラクタル図形の一つ。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案した。線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが 4/3 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは無限大である。完全なものは作図することができない。
コッホ曲線は相似比が1/3の4個のセグメントから成っているので、フラクタル次元log4 / log3 = 1.26186...次元である。
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コッホ雪片(コッホせっぺん)は、上記のコッホ曲線をつなぎ合わせ、始点と終点を一致させたものである。
コッホ雪片は、有限の面積であるにもかかわらず、無限の周囲を持つ。」


































解答

 最初の正三角形を 0 番目とし、その面積を S とします。

 n 番目の図形の辺は 3・4n 本で、各辺に作図する正三角形の面積は S/9n で、

 (n-1)番目の図形に対して増える面積は 3・4n-1・S/9n です。

 従って、その極限値は、
    
 S+Σ(3・4n-1・S/9n)=S+(S/3)/(1-4/9)=8S/5 、
    n=1
 S=49 だから、8・49/5=392/5=78.4 になります。

*これはカウントできましたぁ ^^;v

増えて行く△の個数は、
4^0*3…4*3…4^2*3…なので…
極限の面積Sは、最初の面積を1とすると、
S=1+4^0*3*(1/3)^2+4*3*(1/3)^4+4^2*3*(1/3)^6+…

S-1=4^0*3*(1/3)^2+4*3*(1/3)^4+4^2*3*(1/3)^6+…
=(1/3)*(1+4*(1/3)^2+4^2*(1/3)^4+…)
=(1/3)*(1/(1-4/9)
=(1/3)*(9/5)=3/5
S=1+3/5=8/5
つまり…
49*(8/5)=392/5
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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 👍 ^^w
少し腹回りをわけてあげたくなったり…しないしない ^^;v
Orz~
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