7694:四角錐内の点...

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問題7694・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34661992.html 
より Orz~
(この問題はやどかりさんの息子さんが高2のときに作られたものなのねぇ~☆~)

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 図のように 四面体ABCDの 辺AB,CD,AC,BD,AD,BC 上にそれそれ 点P,Q,R,S,T,U があり、

 PQ,RS,TU が 四面体ABCDの内部の点Xで交わっています。

 AXを平面BCDまで延長し、交点をYとします。

 PX:XQ=7:6,RX:XS=8:5,TX:XU=2:1 のとき、XY は AX の何倍?




















































解答


[解答1]

 太字はベクトルを表すものとします。

 AP=pABCQ=qCD とすれば、AQ=(1-q)AC+qAD 、

 PX:XQ=7:6 だから、AX=(6AP+7AQ)/13=(6p/13)AB+(7/13-7q/13)AC+(7q/13)AD 、

 AR=rACDS=sDB とすれば、AS=(1-s)AD+sAB 、

 RX:XS=8:5 だから、AX=(5AR+8AS)/13=(8s/13)AB+(5r/13)AC+(8/13-8s/13)AD 、

 AT=tADBU=uBC とすれば、AU=(1-u)AB+uAC 、

 TX:XU=2:1 だから、AX=(AT+2AS)/3=(2/3-2u/3)AB+(2u/3)AC+(t/3)AD です。

 ここで、ABACAD は1次独立なので、

 8s/13=2/3-2u/3 ,2u/3=7/13-7q/13 ,7q/13=8/13-8s/13 となって、

 これを解けば、q=19/42,s=29/48,u=23/52 ですので、

 AX=(29/78)AB+(23/78)AC+(19/78)AD になります。

 よって、AX:AY=(29/78+23/78+19/78):1=71:78 、AX:XY=71:7=1:7/71 、7/71 倍です。


[解答2]

 四面体ABCDの 直線ABに垂直な平面への正射影を考えれば、

 AX,PX が重なりますので、その延長にある B,Y,Q は一直線上にあります。

 四面体XBCD,XACD,XABD,XABC の体積をそれぞれ a,b,c,d とすれば、

 △YCD:△YBD:△YBC=四面体XACD:四面体XABD:四面体XABC=b:c:d になり、

 BY:YQ=(△YBC+△YBD):△YCD=(d+c):b であり、

 CQ:QD=△YBC:△YBD=d:c であるのと同様に AP:PB=b:a です。

 △PBQと直線AYでメネラウスの定理により、(PA/AB)(BY/YQ)(QX/XP)=1 、

 PX/XQ=(PA/AB)(BY/YQ)={b/(b+a)}{(d+c)/b}=(d+c)/(b+a) 、

 PX:XQ=(c+d):(a+b) 、PX/PQ=(c+d)/(a+b+c+d) 、

 同様にして、RX/RS=(b+d)/(a+b+c+d) ,TX/TU=(b+c)/(a+b+c+d) です。

 従って、2(b+c+d)/(a+b+c+d)=PX/PQ+RX/RS+TX/TU 、

 2・AX/AY=PX/PQ+RX/RS+TX/TU=7/(7+6)+8/(8+5)+2/(2+1)=71/39 、AX/AY=71/78 、

 AY/AX=78/71 、XY/AX=7/71 です。


*わたしゃ…ベクトルの使い方をよく分かっちゃいないことがわかったり…^^;

・友人のもの ^^

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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
了解でっす ^^; Orz...
訂正させて頂きますぅ ~m(_ _)m~

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 👍 ^^w
暑いのが好き=涼しくなるのが好きなわたしは…
こちらまで涼しげになるよな風情な人が好きだわ ^^☆
Orz~
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