7154:1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・

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問題7154・・・http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hadhi.htm より 引用 Orz~

 e=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・
 が無理数であることを証明せよ.



















































解答

・わたしの…

右辺=m/n m,n整数
で表せるとする。
but...分母にはいくらでも新たな素数が現れるので…nが決まらない…
つまり、m/n と確定した値にはなれない。

なんてのでは駄目なんだろうかしら…?…^^;

有名問だから調べたら…^^…Orz…

「整数p,qが存在して,
  p/q=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・
のように書けるものと仮定する.
  p/q=(1+1/1!+1/2!+・・・+1/q!)+(1/(q+1)!+1/(q+2)!+・・・)
 
両辺をq!倍すると,←ここが肝ね☆
p(q-1)!
=(q!+q!/1!+q!/2!+・・・+q!/q!)+(1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+・・・)

ここで,p(q-1)!は整数,(q!+q!/1!+q!/2!+・・・+q!/q!)も整数.
 
また,
1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+・・・
<1/(q+1)+1/(q+1)(q+1)+1/(q+1)(q+1)(q+1)+・・・=1/q ←これまた巧い☆
となり,
1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+・・・
は小数であることがわかる.
 
以上より,整数=整数+小数となって矛盾.eが有理数であるという仮定に誤りがあり,有理数ではあり得ないことを示している.したがって,eは無理数である.
 
1744年,オイラーはこのようにしてeの無理数性を示したのですが,さらに,1873年,エルミートはeが超越数であることを証明しました.これに対して,πが無理数であることを示したのはランベルト(1761年)であり,最終的にリンデマンがπが超越数であること証明しました(1882年).リンデマンはエルミートの方法を発展させ,πの超越性を示したのです.

*整数の比で表せない数を無理数(例:√2)と呼ぶ.いい換えれば,整数係数の1次式の根にはならない数が無理数なのである.無理数の中でも,整数係数多項式の根となる数が代数的数(例:3√5はx^3-5=0の根)であり,それに対して,超越数とは,整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数(例:π,e)のことである.
 
超越数は無理数であり,無理数のほとんどは超越数であることが証明されている.無理数は超越数の候補ではあるが,超越数とは別の由来をもち,次元の異なる数なのである.」
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