6506:4倍の求角...△...

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問題6506・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33502346.html より Orz~

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 △ABC が ∠B=4∠C ,AB2+AC・BC=BC2 を満たすとき、∠B=?

















































解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33529402.html  より Orz~

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[解答1]

 ∠C=θ とすれば、正弦定理より BC:CA:AB=sin5θ:sin4θ:sinθ 、

 AB2+AC・BC=BC2 より sin2θ+sin5θsin4θ=sin25θ 、

 sin5θsin4θ=sin25θ-sin2θ=(1-cos10θ)/2-(1-cos2θ)/2=(cos2θ-cos10θ)/2=sin6θsin4θ 、

 sin4θ=sin∠B>0 だから、sin5θ=sin6θ 、

 0<5θ<6θ,5θ<π を考慮し、5θ+6θ=π 、11θ=π 、∠B=4θ=4π/11 です。

☆ sin25θ-sin2θ=(sin5θ+sinθ)(sin5θ-sinθ)=(2sin3θcos2θ)(2cos3θsin2θ)

   =(2sin3θcos3θ)(2sin2θcos2θ)=sin6θsin4θ という式変形もあります。


[解答2]

 AB2+AC・BC=BC2 より AB2=BC(BC-AC) 、

 BC上に BC-AC=BD を満たす点Dをとれば、AB2=BC・BD 、DB:BA=AB:BC 、

 2辺の比とその間の角が等しいことにより △DBA∽△ABC 、∠BAD=∠BCA です。

 また、BC-AC=BD より AC=BC-BD=DC だから、

 ∠CAD=∠CDA=∠B+∠BAD=∠B+∠C=5∠C になり、

 ∠CAD+∠CDA+∠C=180゚ より 11∠C=180゚ 、∠B=4∠C=(4/11)180゚=(720/11)゚=65.4545……゚ です。


[解答3]

 AB2-BC2+AC・BC=0 の両辺を AB+BC で割って、AB-BC+AC・BC/(AB+BC)=0 、

 ここで、∠B の二等分線 と AC の交点を E とすれば、CE=AC・BC/(AB+BC) だから、

 AB-BC+CE=0 、CE=BC-AB 、

 また、BA=BF を満たすように 辺BC上に 点Fをとれば、CE=BC-BF=CF となって、

 △CEF は CE=CF の二等辺三角形になります。

 ∠C=∠B/4 、△CFE の外角は、∠BED=90゚+∠C/2=90゚+∠B/8 、

 △ABE≡△FBE だから ∠A=∠BFE=90゚+∠B/8 です。

 △ABC の内角を考えれば、(90゚+∠B/8)+∠B+∠B/4=180゚ 、(11/8)∠B=90゚ 、

 ∠B=720゚/11=(720/11)゚=65.4545……゚ です。


[解答4] uch*n*anさんのコメントをもとに

 AC//BG の等脚台形ABGCを作ります。

 等脚台形は円に内接するので,トレミーの定理より,

 AB・CG+AC・BG=AG・BC ,AB2+AC・BG=BC2

 一方で,条件より,AB2+AC・BC=BC2 なので BG=BC です。

 ∠CBG=∠C=(1/4)∠B 、∠BCG=∠BGC=∠ABG=∠B+(1/4)∠B=(5/4)∠B 、

 △BCG において、∠CBG+∠BCG+∠BGC=(1/4)∠B+(5/4)∠B+(5/4)∠B=(11/4)∠B=180゚ 、

 ∠B=720゚/11=(720/11)゚=65.4545……゚ です。


[解答5] uch*n*anさんの解答より

 ∠C=θ とすると,余弦定理より AB2=AC2+BC2-2・AC・BC・cosθ です。

 一方で,AB2+AC・BC=BC2 より,

 AC2+BC2-2・AC・BC・cosθ=BC2-AC・BC ,AC+BC=2・BC・cosθ

 そこで,CA の延長上に AE=BC となる点 E を取れば,この式は,

 BE=BC,∠BEC=∠BCE=θ を意味しています。これより,

 ∠EAB=∠EBA=90゚-θ/2 ,∠BAC=180゚-5θ ,∠EBA+∠BAC=180゚,

 (90゚-θ/2)+(180゚-5θ)=180゚ ,θ=(180/11)゚=∠C,∠B=4∠C=(720/11)゚ になります。 


*いろんな解き方があるものですねぇ ☆
わたしゃ...トレミーの定理に当て嵌めれば決まっちゃうという一点突破で攻めましたぁ ^^;v

円に内接する等脚台形で...トレミーの定理を満たす ^^
底辺は...(4+1)*2=10 で...
180*(4/11)=720/11
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コメント

No title

スモークマン

やどかりさんの解答がアップされました♪

No title

スモークマン
>鍵コメ様へ ^^
👍 👍 ^^w
今朝は筋肉痛が和らいでます...^^;v
鼻づまりが○...Orz~
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